《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)

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1、《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)第一章数理统计的基本概念P261.2设总体的分布函数为，密度函数为，，，…，为的子样，求最大顺序统计量与最小顺序统计量的分布函数与密度函数。解：....1.3设总体服从正态分布，今抽取容量为5的子样，，…，，试问：（i）子样的平均值大于13的概率为多少？（ii）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？（iii）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？解：，，.（i）.（ii）令，..—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)，..（ii

2、i）..1.4试证：（i）对任意实数成立。并由此证明当时，达到最小。（ii），其中。证明：（i）.当时，达到最小。（ii）.P271.5设，，…，为正态总体的样本，令，试证，。证明：①，则.—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)...②...1.6设总体服从正态，，，…，为其子样，与分别为子样均值及方差。又设与，，…，独立同分布，试求统计量的分布。解：由于和是独立的正态变量，，，且它们相互独立...则..而，且与相互独立，则.1.7设，求证.—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)证明：

3、又分布的定义可知，若，，且与相互独立，则，这时，，其中，.由分布的定义可知，.1.9设，，…，和，，…，分别来自总体和，且相互独立，和是两个已知常数，试求的分布，其中，。解：，，与相互独立，，，，.，，且与相互独立，.，即.第二章参数估计（续）—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)P682.13设总体服从几何分布：，，证明样本均值是的相合、无偏和有效估计量。证明：总体服从几何分布，，..样本均值是的无偏估计量。.....—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章).样本均值是的有效估计量。证

4、法一：，.样本均值是的相合估计量。证法二：，..样本均值是的相合估计量。证法三：由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的，即对于任给，有.因此，样本均值是的相合估计量。综上所述，样本均值是的相合、无偏和有效估计量。—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)2.14设总体服从泊松分布，，，…，为其子样。试求参数的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界。解：........参数的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界为：.2.19设总体服从泊松分布，，，，…，为来自的一个样本。假设有先验分布，其密度

5、为，求在平方损失下的贝叶斯估计量。解：服从泊松分布，.的先验分布密度为.给定，样本的分布列为：—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)的后验概率密度为：从而在平方损失下，的贝叶斯估计为：.………………………………………（*）其中，…………………（**）将（**）式代入（*）式得：，即为在平方损失下的贝叶斯估计量。—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)第三章假设检验P1313.2一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（

6、小时）。已知该种元件寿命服从标准差（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。解：本题需检验：，：.元件寿命服从正态分布，已知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为.其中，，，.则.查表得，得，落在拒绝域中，拒绝，即认为这批元件不合格。3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布，其中（kg/cm2）。现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为，与以往正常生产时的相比，较大20（kg/cm2）。设总体方差不变，问在下能否认为这批钢索质量有显著提高？解：本题需检验：，：.钢索的断

7、裂强度服从正态分布，已知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为.其中，，，.—15—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)则.查表得，得，未落在拒绝域中，接受，即认为这批钢索质量没有显著提高。3.5测定某种溶液中的水分。它的10个测定值给出，。设总体为正态分布，试在水平5%检验假设：（i）：；：.（ii）：；：.解：（i）总体服从正态分布，未知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为.查表得.而.落在拒绝域中，拒绝.（ii）总体服从正态分布，未知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为.查表得.而.—15—《应用数理统计

8、》作业题及参考答案(前三章)未落在拒绝域中，接受.3.6使用（电学法）与（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是－0.72℃的冰块，下列数据是每克冰从－0.72℃变成0℃水的过程中的吸热量（卡/克）：方法：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，80.02，80.00，80.02方法：80.02，79.94，79.97