《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)

《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)

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1、《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)第一章数理统计的基本概念P261.2设总体的分布函数为,密度函数为,,,…,为的子样,求最大顺序统计量与最小顺序统计量的分布函数与密度函数。解:....1.3设总体服从正态分布,今抽取容量为5的子样,,…,,试问:(i)子样的平均值大于13的概率为多少?(ii)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少?(iii)子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少?解:,,.(i).(ii)令,..—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章),..(iii)..1.4试证:(i)对任意实数成立。并由此证明当时,达到最小

2、。(ii),其中。证明:(i).当时,达到最小。(ii).P271.5设,,…,为正态总体的样本,令,试证,。证明:①,则.—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)...②...1.6设总体服从正态,,,…,为其子样,与分别为子样均值及方差。又设与,,…,独立同分布,试求统计量的分布。解:由于和是独立的正态变量,,,且它们相互独立...则..而,且与相互独立,则.1.7设,求证.—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)证明:又分布的定义可知,若,,且与相互独立,则,这时,,其中,.由分布的定义可知,.1.9设,,…,和,,…,分别来自总体和,且相互独立

3、,和是两个已知常数,试求的分布,其中,。解:,,与相互独立,,,,.,,且与相互独立,.,即.第二章参数估计(续)—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)P682.13设总体服从几何分布:,,证明样本均值是的相合、无偏和有效估计量。证明:总体服从几何分布,,..样本均值是的无偏估计量。.....—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章).样本均值是的有效估计量。证法一:,.样本均值是的相合估计量。证法二:,..样本均值是的相合估计量。证法三:由大数定律知,样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的,即对于任给,有.因此,样本均值是的相合估计量。综上所述,样

4、本均值是的相合、无偏和有效估计量。—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)2.14设总体服从泊松分布,,,…,为其子样。试求参数的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界。解:........参数的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界为:.2.19设总体服从泊松分布,,,,…,为来自的一个样本。假设有先验分布,其密度为,求在平方损失下的贝叶斯估计量。解:服从泊松分布,.的先验分布密度为.给定,样本的分布列为:—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)的后验概率密度为:从而在平方损失下,的贝叶斯估计为:.………………………………………(*)其中,…………………(*

5、*)将(**)式代入(*)式得:,即为在平方损失下的贝叶斯估计量。—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)第三章假设检验P1313.2一种元件,要求其使用寿命不得低于1000(小时)。现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时)。已知该种元件寿命服从标准差(小时)的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。解:本题需检验:,:.元件寿命服从正态分布,已知,当成立时,选取统计量,其拒绝域为.其中,,,.则.查表得,得,落在拒绝域中,拒绝,即认为这批元件不合格。3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布,其中(kg/cm2)。现

6、从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为,与以往正常生产时的相比,较大20(kg/cm2)。设总体方差不变,问在下能否认为这批钢索质量有显著提高?解:本题需检验:,:.钢索的断裂强度服从正态分布,已知,当成立时,选取统计量,其拒绝域为.其中,,,.—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)则.查表得,得,未落在拒绝域中,接受,即认为这批钢索质量没有显著提高。3.5测定某种溶液中的水分。它的10个测定值给出,。设总体为正态分布,试在水平5%检验假设:(i):;:.(ii):;:.解:(i)总体服从正态分布,未知,当成立时,选取统计量,其拒绝域为.查表得.

7、而.落在拒绝域中,拒绝.(ii)总体服从正态分布,未知,当成立时,选取统计量,其拒绝域为.查表得.而.—110—《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)未落在拒绝域中,接受.3.6使用(电学法)与(混合法)两种方法来研究冰的潜热,样品都是-0.72℃的冰块,下列数据是每克冰从-0.72℃变成0℃水的过程中的吸热量(卡/克):方法:79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02方法:80.02,7

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