数值分析报告lagrange差值和牛顿插值

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1、实验一一、实验名称Lagrange插值多项式和牛顿插值多项式二、实验目的与要求：实验目的：掌握Lagrange插值多项式和牛顿插值多项式的算法。实验要求：1.给出Lagrange插值和牛顿插值算法思路，2.用C语言实现算法，运行环境为MicrosoftVisualC++，3.计算误差（这里只要求给出（-5,5）内101个点的误差）。三、实验内容：1.对Lagrange插值多项式算法作编程练习和上机运算，2.对牛顿插值多项式算法作编程练习和上机运算，3.比较两种方法。算法思路：1.Lagrange算法是把多项式p写成如下形式：，其中称

2、为Lagrange基函数。计算Lagrange基函数的方法：fx=0.0;for(i=0;i<=n;i++){tmp=1.0;for(j=0;j

3、y1[0];for(k=1;k<=N;k++){d=x1[k]-x1[k-1];u=c[k-1];for(i=k-2;i>=0;i--){u=u*(x1[k]-x1[i])+c[i];d=d*(x1[k]-x1[i]);}c[k]=(y1[k]-u)/d;}3.这里，我们先编写两个函数px1和px2，分别用来计算插值节点取和Chebyshevpoint，i=0,1,…，N时的Lagrange多项式函数或牛顿多项式函数，然后在main函数中，主要目的是计算误差

4、f(x)-p(x)

5、在（-5,5）内101个点处的最大值，其中当然要引用前

6、面编写的两个函数px1和px2，最后将N=5,10,20,40时两种情况下的最大误差输出，并分析结果。四、实验题目：对函数，构造Lagrange插值多项式和牛顿插值多项式，插值节点取为，i=0,1,…，N和，i=0,1,…，N（Chebyshevpoint），并计算如下误差对N=5,10,20,40比较以上两组节点的结果。编写程序（程序见后面附录），输出结果如下：1.Lagrange插值法结果：可以看出：（1）对于该函数而言，N值越大，即插值点数越多，相对误差（大概地）越小，但是要求得严格的误差，应该取

7、f(x)-p(x)

8、在区间（

9、-5,5）上的最大值。这里认为该区间上101个点足够密集，而且f(x)-p(x)在（-5,5）上是一致连续的，所以将其看作所求误差是合理的。（2）MaxErrorofgrid（1）总是小于MaxErrorofgrid（2），而且MaxErrorofgrid（1）迅速收敛到零，然而MaxErrorofgrid（2）则很缓慢地向零靠拢，这说明该函数f（x）用（-5,5）上平均分布的N个点得到的Lagrange函数比用（-5,5）上N个Chebyshevpoint更靠近原函数f(x)。2.牛顿插值法得到的结果：可以看出：（1）单独地观察这

10、组数据，会得到和Lagrange插值法一样的结论，对于该函数而言，N值越大，即插值点数越多，相对误差（大概地）越小，MaxErrorofgrid（1）总是小于MaxErrorofgrid（2），且MaxErrorofgrid（1）更迅速地收敛到零。（2）和Lagrange插值法数据比较，我们会发现当取相同的插值点时，两种方法得到的误差结果是一样的。追究其原因知，这是多项式插值定理决定两组数据必定是相同的，多项式插值定理是这样阐述的，若是不同的实数，则对任意数值，存在唯一的次数至多是n次的多项式P（x），使得，所以两种方法算得的Lag

11、range多项式和牛顿多项式实质上是同一个函数P（x），故当然是相同的了。五、附录：实验编程，运行环境为MicrosoftVisualC++A．Lagrange插值多项式法：#include#includedoublepx1(floatw,intN)/*构造变量为w的Lagrange函数，xi=5-10i/N为插值点*/{inti,j;doublez1=0.0,x1[50],y1[50];for(i=0;i<=N;i++){x1[i]=5.0-10.0*i/N;y1[i]=1/(1+x1[i]*x1

12、[i]);}for(i=0;i<=N;i++){doubletmp=1.0;for(j=0;j