第17讲函数图象及数字特征

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1、第17讲函数图象及数字特征一、要点精讲1．函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和

2、手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(x-h)；Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)-h。②对称变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称

3、即可得到；y=f(x)y=f(-x)Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x)y=-f(x)Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x)y=-f(-x)Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。y=f(x)x=f(y)Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x)y=f(2a-x)。③翻折变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原

4、轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；y=f(x)y=af(x)Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。2．幂函数在第一象限的图象，可分为如图中的三类：图在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数中限于在集合中取值。幂函数有如下性质：⑴它的图象都过（1，1）点，都不过

5、第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性；⑶幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数；⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；二、典例解析题型1：作图ABCD例1．如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（）解析：显然当时，阴影部分的面积等于圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，，即点在直线的下方，故应在C、D中选择。而当当时

6、，阴影部分的面积等于圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，，即点在直线的上方，故应选择D。例2．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）解析一：由指数函数图象可以看出0<<1。抛物线方程是y=a（x+）2－，其顶点坐标为（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.观察选择支，可选A。解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故选A。题型2：识图例3．某地一年内的气温(单位：℃)与时间(月份)之间的关系如图所示，已知该年

7、的平均气温为10℃，令表示时间段的平均气温，与之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（）解析：平均气温10℃与函数图像有两个交点，观察图像可知两交点的两侧都低于平均气温，而中间高于平均气温。时间段内的平均气温，应该从开始持续到平均气温左交点向右一段距离才开始达到平均气温，持续上升一段时间，最后回落到平均气温。答案A。例4．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量

8、与其气温间关系的叙述中，正确的是（）图A．气温最高时，用电量最多B．气温最低时，用电量最少C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高。因此A项错误。同理可判断出B项错误。由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确。题型3：函数的图