第2讲函数、图象及性质

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1、第2讲　函数、图象及性质1.函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．2.重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3.难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．1.已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________.2.函数f(x)＝的定义域为________．3.函数f(x)的

2、定义域是R，其图象关于直线x＝1和点(2,0)都对称，f＝2，则f＋f＝________.4.函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝mx＋2，对x1∈[－1,2]，x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数m的取值范围是________．【例1】　已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在整数m使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由．【例2】　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0

3、，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．【例3】　设函数f(x)＝x2＋

4、2x－a

5、(x∈R，常数a为实数)．(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a>2，求函数f(x)的最小值.8【例4】　(2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝＋a

6、x

7、，a为实数．(1)当a＝1，x∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；(2)设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f(x)的单调减区间为(m，n)，且n－m≤，求a的取值范围．1.(2011·辽宁)若函数f(x)＝为奇函数

8、，则a＝________.2.(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝________.3.(2011·上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．5.(2011·上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠

9、0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．6(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；(2)求函数M(x)＝的最大值；(3)如果对不等式f(x2)f()＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．8解：令t＝log2x，(1分)(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(t－1)2＋2，(2分)∵x∈[1,4]，∴t∈[0,2]

10、，(3分)∴h(x)的值域为[0,2]．(4分)(2)f(x)－g(x)＝3(1－log2x)，当0＜x≤2时，f(x)≥g(x)；当x＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴M(x)＝　M(x)＝(6分)当0＜x≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3)由f(x2)f()＞kg(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，∵x∈[1,4]，∴t∈[0,2]，∴(3－4t)(3－t)＞kt对一切t∈[0,2]恒成立，(10分)①当t＝0时，k∈R；(11分)

11、②t∈(0,2]时，k＜恒成立，即k＜4t＋－15，(12分)∵4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号．(13分)∴4t＋－15的最小值为－3.综上：k＜－3.(14分)第2讲　函数、图象及性质1.已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．【答案】　m＜n　解析：考查指数函数的单调性a＝∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)＞f(n)得：m

12、x－a

13、.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设

14、函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(