高考备考精品:数学解题能力快速提升

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1、高考备考精品:数学解题能力快速提升一.不等式解题方法一、从与的大小说起【引例】正实数中,对任意a,b,m,都有这就是“分数的基本性质”:分数的分子和分母乘以同一个正数,其值不变.这,连小学生都知道.但,我们的话题却要从这儿开始.【问题】对以上“性质”,如果将冒号后的文字改变一个字,将“乘”改成“加”,即变成    这里的等号还能成立吗?请看下例.【例1】若b>a>0,m>0,则有A.     B.     C.      D.【解答】(淘汰法)令a=1,b=2,m=3 淘汰B,C,D,答案为A.【例2】(变例1为解答题)若b>a>0,m

2、>0,试比较和的大小.【解1】(比较法 作差—变形—判定符号)因为  【解2】(综合法 由因推果 由整式推出分式)a

3、简.只是第一步的“假设”是种猜想,事先应有某种倾向. 【解4】(放缩法 从右到左)(>)【说明】a放大为b,则缩小为,结果是分值缩小.将缩成,目标是“约”去m. 【解5】(放缩法 从左到右)(<)【说明】“最后”令kb=m的合理性来自正数k的任意性.事实上,我们可以提前设置m=kb.将放成,目标是“添”上m.这里的第二步利用了连比定理.放缩法实为对比较法、分析法、综合法等基本方法所得简单结果的一种整合运用. 【小结】证不等式,比较法是基础,放缩法是整合,方法网络图如下:  【练习】正实数中,求证≥(Ⅰ)用比较法证明;  (Ⅱ)用综合法证

4、明;第34页共34页(Ⅲ)用分析法证明;  (Ⅳ)用放缩法证明. 二、比大小 从方程、函数到不等式还是那个题目 b>a>0,m>0,求证【法1】(等式法 不等式变为方程)       设        得        即 x>0,故有 .【说明】这种等式法实为比较法的一种变式.即作差法的另种形式. 【法2】(等式法 未知数论设作因子)设        则       所以 【说明】这种等式法为比较法的另一种形式. 即作商法的另种形式. 【法3】(函数法 视m为x,)      设有函数        函数在[0,m]上是减函数,故是[

5、0,m]上的增函数.(图右,其中a=1,b=2)f(0)0)是第34页共34页(0,+∞)上的减函数.【法4】(不等式法 把证不等式化为解不等式)     解不等式 即x=m为正数时,原不等式真.【说明】证不等式可视为一种特殊形式的解不等式.如证a2-a+1>0,即x2-x+1>0的解为R,视参数为变量.解出的参数值域符合题设的取值范围即可.【法5】(极限法 把参数m作极端处理)  &nbs,p;      当m→0时,         当m→∞时,    

6、    故有 【说明】对于解答题来讲,这种解法的理由不充分,因为对于函数f(m)=的单调性并没讲清楚,没有交待f(m)是上的增函数.如果是确定性的选择题例1,即与的大小关系是确定的,不需要讨论m的范围时,则这种极限法是很简便的.【小结】真分数的“放大性”:真分数的分子和分母加上同一个正数,其值变大.以这种“放大性”为基础,可推出许多重要的分式不等式,如(1)a+b≤a+b≤≤(2)数列an=是增数列;而数bn=是减数列.【练习】1.正数中,再证≥.分别用函数法、方法程和解不等式法.2.用不同的方法证明≥.第34页共34页3.用不同的方法

7、证明≥.三、千方百法 会战高考不等式【考题1】(2006年赣卷第5题)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f¢(x)³0,则必有(  )A.  f(0)+f(2)<2f(1)            B. f(0)+f(2)£2f(1)C. f(0)+f(2)³2f(1)            D. f(0)+f(2)>2f(1) 【分析】从已知条件(x-1)f¢(x)≥0出发,可得如下的不等式组或.因此f(x)有两种可能:其一,f(x)为常数;其二,f(x)在区间上为减函数,在上为增函数. 【解答】(综合法)依题意,当x³1

8、时,f¢(x)³0,函数f(x)在[1,+¥上是增函数;当x<1时,f¢(x)£0,f(x)在(-¥,1)上是减函数.所以f(0)³f(1),f(2)³f(1),所以f(0)+f(2)≥2f(1),当f(x

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