反三角函数的概念和性质

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1、反三角函数的概念和性质一．基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx,x∈[－1,1],y∈[－，],y＝arccosx,x∈[－1,1],y∈[0,π],在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上

2、的一个实数；4．y＝arcsinx等价于siny＝x,y∈[－，],y＝arccosx等价于cosy＝x,x∈[0,π],这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x,x∈[－1,1],cos(arccosx)＝x,x∈[－1,1],arcsin(sinx)＝x,x∈[－，],arccos(cosx)＝x,x∈[0,π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsinx＋a

3、rccosx＝,arctgx＋arcctgx＝的应用。例一．下列各式中成立的是（C）。（A）arcctg(－1)＝－　　　　（B）arccos(－)＝－C）sin[arcsin(－)]＝－　　（D）arctg(tgπ)＝π解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0,π),arccos(－)∈[0,π],(D)中，arctg(tgπ)∈[－,],而π[－，],∴(A)(B)(D)都不正确。例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。（A）y＝sinx,x∈[－π,0]　（B）y＝sinx,x∈[

4、,]（C）y＝sinx,x∈[,]（D）y＝sinx,x∈[,]解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。例三．arcsin(sin10)等于（C）。（A）2π－10（B）10－2π（C）3π－10（D）10－3π解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－,]上。由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10,且3π－10∈[－,],所以选C。（例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。（1）f(x)＝2sin

5、2x,x∈[,];（2）f(x)＝＋arccos2x.解：(1)x∈[,],2x∈[,],2x－π∈[－,],－2≤y≤2由y＝2sin2x,得sin2x＝,sin(2x－π)＝－sin2x＝－,∴2x－π＝arcsin(－),∴x＝－arcsin,∴f－1(x)＝－arcsin,－2≤x≤2,y∈[,].(2)f(x)＝＋arccos2x,x∈[－,],y∈[,],∴arccos2x＝y－,2x＝cos(y－),x＝cos(y－)＝siny,∴f－1(x)＝sinx,x∈[,],y∈[－,].例五．求下列函数的

6、定义域和值域：(1)y＝arccos;(2)y＝arcsin(－x2＋x);(3)y＝arcctg(2x－1),解：(1)y＝arccos,0<≤1,∴x≥1,y∈[0,).(2)y＝arcsin(－x2＋x),－1≤－x2＋x≤1,∴≤x≤,由于－x2＋1＝－(x－)2＋,∴－1≤－x2＋x≤,∴－≤y≤arcsin.(3)y＝arcctg(2x－1),由于2x－1>－1,∴0

7、＝arcsinx＋arctgx.解：(1)∵x∈(－,),∴sinx∈(－,1],∴y∈[0,).(2)∵y＝arcsinx＋arctgx.,x∈[－1,1],且arcsinx与arctgx都是增函数,∴－≤arcsinx≤,－≤arctgx≤,∴y∈[－,].例七．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xarcsin(sinx);(2)f(x)＝－arcctgx.解：(1)f(x)的定义域是R，f(－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f(x),　∴f(x)是偶函数;(2)

8、f(x)的定义域是R,f(－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f(－x),∴f(x)是奇函数.例八．作函数y＝arcsin(sinx),x∈[－π,π]的图象.解：y＝arcsin(sinx),x∈[－π,π],得,图象略。例九．比较arcsin,arctg,arccos(－)的大小。解：arcsin<,arctg<,arccos