2018版高中数学人教b版选修1-1学案2.2.2 双曲线的几何性质

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2．2.2　双曲线的几何性质[学习目标]　1.掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．[知识链接]类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？答案　(1)范围：x≥a或x≤－a；(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的；(3)顶点：双曲线有两个顶点A1(－a,0)，A2(a,0)．[预习导引]1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥

2、a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)72017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为.要点一　已知双曲线的标准方程求其几何性质例1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5

3、)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.规律方法　讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪演练1　求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4.∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4.焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.要点二　根据双曲线的几何性质求标准方程例2　求适合下列条件的双曲线的标准

4、方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.72017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.

5、∴所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.规律方法　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得．若已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，还可以将方程设为－＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置．跟踪演练2　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3

6、,9)，离心率e＝；(2)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.解　(1)e2＝，得＝，设a2＝9k(k＞0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.于是，设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1②把(3,9)代入①，得k＝－161与k>0矛盾，无解；把(3,9)代入②，得k＝9，故所求双曲线方程为－＝1.72017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案(2)方法一　(首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，－1)在渐近线y＝－3x的上方还是下方)如图所示，x＝2与y＝－3x交点为Q(2，－6)，P(2，－1)在Q(2，－6)的上方，所以焦点在x轴上．设双曲线方

7、程为－＝1(a>0，b>0)．依题意，得，解得.∴所求双曲线方程为－＝1.方法二　由渐近线方程y＝±3x，可设所求双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)(*)将点P(2，－1)的坐标代入(*)，得λ＝，∴所求双曲线方程为－＝1.要点三　直线与双曲线的位置关系例3　直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程．解　设直线l的方程为y＝2x＋m，由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两