2018版高中数学人教b版选修1-1学案2.1.1　椭圆及其标准方程

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2．1　椭　圆2．1.1　椭圆及其标准方程[学习目标]　1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．[知识链接]命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和

2、PA

3、＋

4、PB

5、＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　若P点的轨迹是椭圆，则一定有

6、PA

7、＋

8、PB

9、＝2a(a>0，且a

10、为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若

11、PA

12、＋

13、PB

14、＝2a(a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>

15、AB

16、时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝

17、AB

18、时，P点的轨迹是线段AB；当2a<

19、AB

20、时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于

21、F1F2

22、)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．72017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2．椭圆的标准方

23、程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)a、b、c的关系c2＝a2－b2c2＝a2－b2要点一　用待定系数法求椭圆的标准方程例1　(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．解　(1)方法一　因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知2a＝＋＝2，所以a＝.又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程

24、为＋＝1.方法二　设标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意得，解得.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一　当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴　则∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，72017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴　则即与a>b矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.方法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵椭圆过(

25、2,0)和(0,1)两点，∴　∴综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.规律方法　求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上进行讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪演练1　求适合下列条件的标准方程：(1)两

26、个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为2a＝＋＝10,2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆标准方程为＋＝1.72017-2018学年高

27、中数学人教B版选修1-1学案要点二　椭圆定义的应用例2如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．解　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，∴c＝＝1.又∵P在椭圆上，∴

28、PF1

29、＋

30、PF2

31、＝2a＝2①由余弦定理知：

32、PF1

33、2＋

34、PF2

35、2－2

36、PF1

37、·

38、PF2

39、·cos30°＝

40、F1F2

41、2＝(2c)2＝4②①式两边平方，得

42、PF1

43、2＋

44、PF2

45、2＋2

46、PF1

47、·

48、PF2

49、＝20③③－②，得(2＋)

50、PF1

51、·

52、PF2

53、＝16，∴

54、PF1

55、·

56、PF2

57、＝16(2－)，∴S△PF1F2＝

58、PF1

59、

60、·

61、PF2

62、·sin30°＝8－4.规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出