2019届高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和学案

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1、2019版高考数学一轮复习全册学案第2讲 等差数列及其前n项和板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 等差数列的有关概念1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).2.等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.考点2 等差数列的有关公式1.通项公式:an=a1+(n-1)d.2.前n项和公式:Sn=na1+d=.[必会结论]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈

2、N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md112019版高考数学一轮复习全册学案的等差数列.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列,其公差

3、为n2d.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等差数列的公差是相邻两项的差.(  )(2)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(  )(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(  )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(  )(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(  )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.[课本改编]在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11

4、项和S11=(  )A.58B.88C.143D.176答案 B解析 因为{an}是等差数列,所以a4+a8=2a6=16⇒a6=8,则该数列的前11项和为S11==11a6=88.故选B.3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(  )A.63B.45C.36D.27答案 B解析 S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,即9,27,a7+a8+a9成等差数列,∴a7+a8+a9=54-9=45.故选B.4.若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7=(  )A.12B.13C.14D

5、.15答案 B解析 由S5=,得25=,解得a4=7,所以7=3+2d,即d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13.故选B.5.[课本改编]在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101=________.答案 52解析 由2an+1=2an+1,得an+1-an=,故数列{an}是首项为2,公差为的等差数列,所以a101=2+100×=52.6.[2018·苏北四市模拟]在等差数列{an}中,已知a2+a8=11,则3a3+a11的值为________.答案 22解析 设等差数列{an}的公差为d,由题意可得a2+a8=11

6、=2a5,则a5=,所以3a3+112019版高考数学一轮复习全册学案a11=3(a5-2d)+a5+6d=4a5=4×=22.板块二 典例探究·考向突破考向 等差数列的基本运算例 1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  )A.1B.2C.4D.8答案 C解析 设{an}的公差为d,则由得解得d=4.故选C.(2)[2018·吉林模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若6a3+2a4-3a2=5,则S7=(  )A.28B.21C.14D.7答案 D解析 由6

7、a3+2a4-3a2=5,得6(a1+2d)+2(a1+3d)-3(a1+d)=5a1+15d=5(a1+3d)=5,即5a4=5,所以a4=1,所以S7===7a4=7.故选D.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.【变式训练1】 (1)[2016·全国卷Ⅰ]已知等差数列{an}前9项的和为27,a

8、10=8,则a100=(  )A.100B.99C.98D.97答案 C解析 设{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式

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