2018版高中数学人教b版选修2-1学案:1.3.1 推出与充分条件、必要条件

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1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案1.3.1 推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.知识点一 充分条件与必要条件梳理 (1)当命题“如果p,则q”经过推理证明判定为真命题时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的________条件,q是p的________条件.这几种形式的表达,讲的是同一个逻辑关系,只是说法不同而已.(2)若p⇒q,

2、但q⊈p,称p是q的______________条件,若q⇒p,但p⊈q,称p是q的______________条件.知识点二 充要条件思考 在△ABC中,角A、B、C为它的三个内角,则“A、B、C成等差数列”是“B=60°”的什么条件?梳理 (1)一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,此时,我们说,p是q的____________条件,简称充要条件.p是q的充要条件,又常说成q当且仅当p,或p与q等价.(2)充要条件的实质是原命题“若p,则q”和其逆命题“若q,则p”均为真命题,如果p是q的充

3、要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件92018年人教B版高中数学选修2-1学案若A=B,则p,q互为充要条件若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件其中p:A={x

4、p(x)成立},q:B={x

5、q(x)成立}.类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件命题角度1 在常见数学问题

6、中的判断例1 下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:a+b=0,q:a2+b2=0;(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形;(3)p:x=1或x=2,q:x-1=;(4)p:m<-1,q:x2-x-m=0无实根;(5)p:ab≠0,q:直线方程ax+by+c=0与两坐标轴都相交.反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法:一、定义法;二、集合法,P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ,P是Q的必要不充分条件⇔集合PQ,P是Q的充要条件⇔集合P=Q,P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q,且P⊉Q;三

7、、传递法,对于较复杂的关系,常用⇒,⇐,⇏等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.跟踪训练1 指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:ax2+ax+1>0的解集是R,q:0

8、x-2

9、<3,q:<-1;(3)p:A∪B=A,q:A∩B=B;(4)p:q:命题角度2 在实际问题中的判断例2 如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件?92018年人教B版高中数学选修2-1学案反思与感悟 “充分”的含义是“有它即可”,“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中

10、的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系,更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象,更加明白、透彻.跟踪训练2 俗语云“好人有好报”,“好人”是“有好报”的(  )A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.无法判断类型二 充要条件的探求与证明命题角度1 充要条件的探求例3 求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.反思与感悟 探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”,也可以寻求结论的等价命题,还可以先寻求结论成立的必

11、要条件,再证明它也是其充分条件.跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)2+t(t为常数),试问t=-1是否为数列{an}是等差数列的充要条件?请说明理由.命题角度2 充要条件的证明例4 已知A,B是直线l上的任意两点,O是直线l外一点,求证:点P在直线l上的充要条件是=x+y,其中x,y∈R,且x+y=1.反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,即充分性需要证明“条件”⇒“结论”,必要性需要证明“结论”⇒“条件”.跟踪训

12、练4 已知ab≠0,求证:a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件.92018年人教B版高中数学选修2-1学案类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例5 已知函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.(1)求A;(2)记p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中,要注

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