简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

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1、简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分一、简单无理函数的不定积分对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。下面总假设表示关于变量的有理函数。1．型函数的不定积分。其中解法：作变量替换，即,于是，转化为有理函数的不定积分。例1．求分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。，，，作变量替换，即，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。解：作变量替换，即，则例2．求解：设则，，所以2．型函数的不定积分，其中（即方程无重根）分两种

2、情况讨论：（1）时，方程有两个不等的实数根、这时，设，即，从而有于是，这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。例3．求解：方程有两个根：，，设，则，即，于是，（2）时，方程没有有实数根。此时，、同号（否则），且（否则时，没有意义），从而设，则，或，此时，从而这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。例4．求解：设，或，即有，，∴（3）当被积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。例5．求例6．求例7．求二、三角函数的不定积分三角函数有理式的积分，即型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。计算方法多种

3、多样，有一种通用的计算方法——万能代换。令，就有，且，于是化为了有理函数的不定积分。讲解课本例8、例9。补充例子：求解：(用万能代换)还可以用其它的解法。解法2：(用初等化简).解法3：(用初等化简,并凑微)可以看到，三角函数的不定积分的计算方法是比较灵活的，只要我们注意观察被积函数的特征，就能找到一些简便的计算方法。下面介绍一些特殊的有理三角函数的不定积分的简便计算方法。1．如果，那么可设即可例10．求解：可见，在解题时不一定要“设”，懂得“凑”就行了。2．如果，那么设即可例11．求解：3．如果，那么设即可例12．求解：4．被积函数是

4、形如的三角函数，分两种情况：（1）如果n与m至少有一个是奇数，那么n是奇数时设；m是奇数时设。例13．求解：（2）如果n与m都是偶数，则通过三角公式，，将被积函数降幂、化简。例14．求解：5．如果被积函数是形如、、的函数，那么就用积化和差公式将被积函数化简。例15．求上面介绍的积分都是能积出来的，但并不是所有的积分都能积出来的。如，，，这些不定积分按道理应该有结果，但他们都是“积不出来”的。主要原因他们是不能用初等函数来表示。（用上面方法计算的不定积分的结果都是初等函数。）总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植

5、物界，是许多中草药的有效成分。在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。简介　　近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。它们对健康的好处有：（1）抗炎症（2）抗过敏（3）抑制细菌（4）抑制寄生虫（5）抑制病毒（6）防治肝病（7）防治血管疾病（8）防治血管栓塞（9）防治心与脑血管疾病（

6、10）抗肿瘤（11）抗化学毒物等。天然来源的生物黄酮分子量小，能被人体迅速吸收，能通过血脑屏障，能时入脂肪组织，进而体现出如下功能：消除疲劳、保护血管、防动脉硬化、扩张毛细血管、疏通微循环、活化大脑及其他脏器细胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。　　近年来国内外对茶多酚、银杏类黄酮等的药理和营养性的广泛深入的研究和临床试验，证实类黄酮既是药理因子，又是重要的营养因子为一种新发现的营养素，对人体具有重要的生理保健功效。目前，很多著名的抗氧化剂和自由基清除剂都是类黄酮。例如，茶叶提取物和银杏提取物。葛根总黄酮在国内外研究和应用也已有多年，其防治动

7、脉硬化、治偏瘫、防止大脑萎缩、降血脂、降血压、防治糖尿病、突发性耳聋乃至醒酒等不乏数例较多的临床报告。从法国松树皮和葡萄籽中提取的总黄酮"碧萝藏"--（英文称PYCNOGENOL）在欧洲以不同的商品名实际行销应用25年之久，并被美国FDA认可为食用黄酮类营养保健品，所报告的保健作用相当广泛，内用称之为"类维生素"或抗自由基营养素，外用称之为"皮肤维生素"。进一步的研究发现碧萝藏的抗氧化作用比VE强50倍，比VC强20倍，而且能通过血脑屏障到达脑部，防治中枢神经系统的疾病，尤其对皮肤的保健、年轻化及血管的健康抗炎作用特别显著。在欧洲碧萝藏

8、已作为保健药物，在美国作为膳食补充品（相当于我国的保健食品），风行一时。随着对生物总黄酮与人类营养关系研究的深入，不远的将来可能证明黄酮类化合物是人类必需的微营养素或者是必需的食物因子。性状：片剂。功能主治