基于模糊集理论的一种图像二值化算法

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1、基于模糊集理论的一种图像二值化算法的原理、实现效果及代码　　这是篇很古老的论文中的算法，发表与1994年，是清华大学黄良凯（Liang-kaiHuang)所写，因此国外一些论文里和代码里称之为Huang'sfuzzythresholdingmethod。虽然古老也很简单，但是其算法的原理还是值得学习的。    该论文的原文可从此处下载： Imagethresholdingbyminimizingthemeasureoffuzziness。    该论文结合了当时处于研究热潮的模糊集理论，提出了一种具有较好效果的图像二值化算法，本文主要是对其进行简单的翻译

2、和注释，并提供了测试代码。一、模糊集及其隶属度函数    首先，我们假定X代表一副大小为M×N的具有L个色阶的灰度图像，而xmn代表图像X中点（m,n)处的像素灰度值，定义μx(xmn)表示该点具有某种属性的隶属度值，也就是说我们定义了一个从图像X映射到[0,1]区间的模糊子集，用专业的模糊集表达，即有：                                          其中0≤μx(xmn)≤1，m=0,1,...M-1，n=0,1,...N-1。对于二值化来说，每个像素对于其所属的类别（前景或背景）都应该有很相近的关系，因此，我们可以

3、这种关系来表示μx(xmn)的值。      定义h(g)表示图像中具有灰度级g的像素的个数，对于一个给定的阈值t,背景和前景各自色阶值的平均值μ0和μ1可用下式表示：                                                                            上述μ0和μ1，可以看成是指定阈值t所对应的前景和背景的目标值，而图像X中某一点和其所述的区域之间的关系，在直觉上应该和该点的色阶值与所属区域的目标值之间的差异相关。因此，对于点(m,n)，我们提出如下的隶属度定义函数：         　

4、　其中C是一个常数，该常数使得0.5≤μx(xmn)≤1。因此，对于一个给定的阈值t，图像中任何一个像素要么属于背景，要么属于前景，因此，每个像素的隶属度不应小于0.5。    C值在实际的编程中，可以用图像的最大灰度值减去最小灰度值来表达，即C=gmax-gmin;二、模糊度的度量及取阈值的原则    模糊度表示了一个模糊集的模糊程度，有好几种度量方式已经被提及了，本文仅仅使用了香农熵函数来度量模糊度。    基于香农熵函数，一个模糊集A的熵定义为：           其中香农函数：          扩展到2维的图像，图像X的熵可以表达为：   　

5、　因为灰度图像至多只有L个色阶，因此使用直方图式（7）可进一步写成：           可以证明式（6）在区间[0,0.5]之间是单调递增而在[0.5,1]之间是单调递减的，并且E(X)具有以下属性：    （1）0≤E(X)≤1 ;    （2）如果μx(xmn)=0或者μx(xmn)=1时，E(X)具有最小值0，在本文中μx(xmn)只可能为1，此时分类具有最好的明确性。    （3）当μx(xmn)=0.5，E(X)获得最大值1，此时的分类具有最大的不明确性。    那么对于图像X，我们确定最好的阈值t的原则就是：对于所有的可能的阈值t,取香农熵

6、值最小时的那个t为最终的分割阈值。三、编程中的技巧    有了上述原理，其实编程也是件很容易的事情了，你可以按照你的想法去做，不过作者论文中的阐述会让代码写起来更清晰、更有效。    首先，为了表达方便，我们定义如下一些表达式：           根据上述表达式，可以知道S(L-1)及W(L-1)对于一副图像来说是个常量，其中S(L-1)明显就是像素的总个数。　　我们的算法步骤如下：    （1）、计算S(L-1)、W(L-1)，设置初始阈值t=gmin,令S(t-1)=0、W(t-1)=0;     （2）、计算下面算式:              

7、     稍微有点数学基础的人都应该能看懂上述算式的推导原理。       根据式（2）和式（3），可以知道背景和前景的区域的平均灰度值为：      　　　　　上式中int表示取整操作。 （3）根据式（4）及式（11）计算图像的模糊度; （4）令t=t+1，然后重新执行步骤2，直到t=gmax-1; （5）找到整个过程中的最小模糊度值对应的阈值t，并作为最佳的分割阈值。为了稍微加快点速度，上述式4中的计算可以在步骤1中用一查找表实现。    四、参考代码：publicstaticintGetHuangFuzzyThreshold(int[]HistGr

8、am){intX,Y;intFirst,Last;intThreshold=-1