《垂直于弦的直径》教案

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1、《垂直于弦的直径》教案教学重点：垂径定理及其应用。教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法教学关键：掌握和应用圆的轴对称性。教学目标：1、认知目标：(1)使学生理解圆的轴对称性；(2)掌握垂径定理；(3)学会运用垂径定理，解决有关的证明、计算和作图问题。2、能力目标：培养学生观察能力、分析能力及联想能力。3、情感目标：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。教学思路：实验---观察---猜想---证明教学程序：一、复习提问---创设情境教师和学生共同演示教具与学具(学生课前自制等腰三角形纸片)，通过对折，回忆等腰三

2、角形式轴对称图形，其底边的垂直平分线是它的对称轴，并复习轴对称图形的概念。设问：如果以刚才演示的等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，那么圆是否是轴对称图形呢？带领学生作好学习新课的知识准备，并逐步引入新课。二、引入新课---揭示课题：在引入新课的同时，运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分重合，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。（出示教具演示）。然后再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦A

3、B；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时教师板书课题：§7.3《垂直于弦的直径》。这样通过全体学生参与实验，逐步导入新课。三、讲解新课---探求新知：为了再现垂径定理的发现过程，还是先从实验开始，让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有那些线段相等、弧相等从而通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE

4、=BE，AC=BC，AD=BD。但这个结论是同学们通过实验猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们来证明它。教师引导学生：上述猜想的条件和结论是什么？并将文字语言转换成符号语言，写出已知和求证，为分清定理的题设和结论作铺垫，同时也是证明命题的必要。要证明线段相等的方法很多，而证明弧相等的方法目前只有依据定义，即证明两条弧重合。引导分析发现证明这三部分重合的关键是A、B两点重合。而A、B两点重合的关键是A、B两点关于直线CD对称。因此，引导学生连接OA、OB，说明CD既是三角形AOB的对称轴，也是圆O的对称轴，即可以得到这三部分重合。（师生共同演示）

5、这种方法即“叠合法”，此时教师板书垂径定理的内容（投影仪显示）。为了对定理有初步的认识，要求学生分清定理的题设和结论，定理的题设有两个(1)直径(2)垂直于弦；结论是(1)平分弦(2)平分弦所对的一条弧，(3)平分弦所对的另一条弧，强调知道两个条件就可得出另外三个，师生共同演示验证。为了进一步巩固，让学生快速抢答：(1)直径平分弦；(2)垂直于弦的直线平分弦；(3)垂直于弦的半径平分弦。针对学生回答问题的情况，教师进一步强调垂径定理的两个条件“垂”与“径”缺一不可。在此基础上，可将定理中的题设与结论进一步明确、直观化，文字语言：一条直线（1）过圆心，（2）垂直

6、于弦，则（a）平分弦，（b）平分弦所对的劣弧，（c）平分弦所对的优弧；符号语言：（1）CD过圆心，（2）CDAB于E，则（a）AE=BE，（b）AC=BC，（C）AD=BD。这样使学生更直观地理解使用垂径定理时的两个条件与可得出的结论，同时为下节课讲垂径定理的推论奠定了良好的基础。为了及时巩固，让学生尝试完成下列训练题：（投影仪显示）如图（教师将圆形纸片教具贴在黑板上），口答：(1)AB=8，OE=3，则OA=？；(2)OA=1O，OE=6，则AB=？；(3)AB=1,∠AOE=30,则OE=？；(4)AB=OA=5，则OE=？，∠AOE=？。通过步步加深的练

7、习，加强学生对定理的理解与直接应用，引导学生积极参与思维，培养学生分析问题及解决问题的能力，并引导学生小结：此类问题可以归结为直角三角形求解，为了突出这个直角三角形，教师将教具（出示彩色直角三角形纸片）贴在上述圆上，并分析直角三角形的三边，即“半径半弦弦心距”然后结合勾股定理得出三边的数量关系r2=d2+(a/2)2.并说明，垂径定理与勾股定理合用，将问题化归为直角三角形求解，这样使学生对定理的认识又上了一个新台阶。在此基础上针对学生的实际情况出示：（投影仪显示）若以圆O为圆心再画一个圆，交弦AB于C、D则AC与BD间可能存在什么关系？试证明你的结论。通过题组

8、训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，