特殊数列求和教学的行动研究

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1、特殊数列求和教学的行动研究佛山市第二中学邓碧兰一、发现问题---我为什么要解决这个问题有三个理由促使我要解决这个问题：（1）连续教了几届高三的学生，他们对这类问题的掌握都不是很理想，无论是考试还是平时做练习，一遇到这类问题，学生就会感觉无从下手，正确率和得分率都不高。（2）纵观近年来的高考试题，数列一直被列为重要考查内容之一，数列求和问题更是数列中的一个重要组成部分．常常在压轴题中出现。（3）新的《高中数学课程标准》课程基本理念的第七条：强调本质，注意适度的形式化。要求高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理

2、，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。二、计划——我要解决的问题我通过与学生的交谈和对这个问题的思考，发现造成高三的学生害怕这类题型和得分不高的主要原因有（1）特殊数列求和是高二第一学期的内容，课本只是介绍了等差数列和等比数列求和公式的推导和应用，而特殊数列求和所包含的错位相减求和、裂项相消求和、分组求和这部分内容课本都没有介绍，只是在必修五第69页A组题第4题出现了三条这种类型的题目，其中两条用分组求和，学生对分组求和掌握基本没有问题

3、，一题用错位相减求和方法，裂项相消求和的题型书本没有出现。（2）由于课本没有这部分内容，老师在介绍这部分内容的时候往往是直接讲结论后就让学生模仿着去应用，学生不清楚这个结论逐步形成的过程，就体会不到蕴涵在其中的思想方法，机械的模仿往往是题目稍有一点变化思维就转不过弯或时间稍长就完全遗忘。（3）求和过程包含比较繁琐的运算，有不少同学懂得用什么方法去求和，但由于运算过程中出现问题，导致会做但得分不高。找出了问题的根源，今年我教完一届高三毕业生，学校安排我教高二理科数学并担任备课组长，为了不让“悲剧”重演，在教授数列这部分内容时，我和同事经过深入的讨论后制定以下的方案：（1）在

4、讲等差数列求和公式的应用及等比数列求和公式的推导时引导学生发散思维、采用多种方法，从这些方法中渗透错位求和与裂项求和的思想，让学生清楚这些求和方法是怎么形成的，什么情况下使用这种方法。（2）等比数列求和要落实到位，力保运算过程不要出错。（3）增加这类题型的练习量。（4）延长这类题型的练习周期，连续4周的周测都出1或2题该类型的解答题，第一次月考和中段考也各出一条该类型的解答题。三、行动——我解决问题的过程在实验过程中，我分以下几个步骤来实现目标：（一）、当学生掌握了等差数列的求和及其应用后，我设计了一组思考题：（1）已知数列如何求的前n项和。（2）已知数列是公差不为零的正

5、项等差数列，=，如何求数列｛｝的前n项和（1）若是各项均不为零的等差数列，求；开始做第一小题时，学生只是关注数列是否等差数列，当知道不是等差数列数列后，就认为没有公式套很难做，我点拨学生关注该数列通项的特点，很快有学生发现该数列的通项可变形为，则，第一小题突破了，后面两题学生知道先去考虑通项能否变形，结果发现第二小题的通项可变形为（其中d为公差），第三小题的通项可变形为，那么这两道题的求和就与第一道一样，通过前后抵消求得。我又引导学生对这三道的特点进行归纳，发现这些数列的通项原形都是分数形式，经变形后原数列每一项均可拆为两项，求和时中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的

6、几项。经历了这个过程，裂项相消求和的思想自自然然地在学生脑海里生根发芽。布置两条作业：（1）已知数列，求的前n项和。（2）已知正整数数列的前n项和为，且对任意的正整数n满足。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列｛｝的前n项和。从作业的情况看，重点班的学生全部会做，普通班除5个基础实在很差的同学不会做，其余的也都会做，实现预期的目标。（二）在学习等比数列数列求和公式的推导，引导学生用了3种方法，其中两种如下：解法1：当q=1时，，，当q1时，设①两边同时乘以q，得　　②①－②得（1－q）∴我让学生思考这种解法最巧妙的地方是什么，学生经过思考认为是在①式两边同时乘以公比q

7、，使得①式左边的第2项至第n项变成②式左边的第1项至第n－1项，出现的位置恰好错了一位，两式错位相减抵消了n－1项，实现了求和。此时，学生第一次体会错位相减的思想，但我当时并没有把错位相减这个概念提出来，好戏还在后面。解法2：当q=1时，，，当q1时这种解法只做到第2步时，学生已经在下面惊呼“妙，裂项求和。”通过这种解法又一次让学生体会裂项相消求和的思想。掌握了等比数列求和公式后，我设计了如下的练习：1、已知等比数列，；2、已知等比数列，；3、已知；4、已知，求的前n项和。前面两道题学生一下子就解决了，第三道不少同学没有对a进