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《二分法求函数 零点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；(2)求区间，的中点；(3)计算：1若=，则就是函数的零点；2若·＜0，则令=（此时零点）；3若·＜0，则令=（此时零点）；(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；
2、否则重复步骤2-4．结论:由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？一、能用二分法求零点的条件例1 下列函数中能用二分法求零点的是( ) 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．4变式迁移1 下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、求函数的零点例2 判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5
3、]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．分析 由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解．解 因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1
4、.3125,1.375)1.343750.08由于
5、1.375－1.3125
6、＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似零点为1.3125.点评 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．变式迁移2 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．解 由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.5－2.625(
7、1.5,2)1.750.2344(1.5,1.75)1.625－1.3027(1.625,1.75)1.6875－0.5618(1.6875,1.75)1.71875－0.1707由于
8、1.75－1.6875
9、＝0.0625<0.1，所以可将1.6875作为函数零点的近似值．4三、二分法的综合运用例3 证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．分析 由题目可获取以下主要信息：①证明方程在[1,2]内有唯一实数解；②求出方程的解．解答本题可借助函数f(x)＝2x＋3x－6的单调性及
10、根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解．证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125
11、)＝－0.445<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.1875，f(1.1875)＝－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875,1.25)．∵
12、1.25－1.1875
13、＝0.0625<0.1，∴1.1875可以作为这个方程的实数解．点评 用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．变式迁移3 求的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．解 设x＝，则x3－2＝0.令f(x)＝
14、x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值[1,2]1.51.375[1,1.5]1.25－0
