初中数学中的数论初步

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1、第1章整除在日常生活中，我们会过到许多有趣而又耐人寻味的问题：某同学到文具店买了七个一角二分钱的本子、五个六分钱的铅笔和三个活页夹子。售货员收了他三元钱，并找还三角七分钱。这个同学马上对售货员说：“您的账算错了！”你能知道他为什么这样快就知道“算错了账”吗？排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为矩形，问最少需要多少人参加团体操的排练？§1.1十进制整数在小学数学中，我们主要学习的是整数的运算，思考整数是怎样表示的？“逢十进一”是什么意思？我们通常接触到整数都是十进制的整数。十进制计数法就是采取逢十进一的法则进行计数的方法。例如，1995就是由1个一千，9个一百

2、，9个十和1个五组成，因此1995这个数就可以写成1995=1×1000+9×100+9×10+5.那么对于任意一个n+1位的正整数怎样用这种形式表示？为了表示方便，我们经常把用字母表示数字的多位数，在这个多位数上面加一个横线，以避免和乘法混淆，例如，37a56就表示一个五位数。§1.2数的整除设有两个整数a，b（b≠0），若有另一整数q，使得a=b×q，则称a被b整除；或b能整除a；若a被b整除，也成a是b的倍数；b是a的约数，并记作b

3、a.若a不能被b整除，则记作b∤a.我们曾经学过下述有关整除的判别法则：1、被2或5整除的数的特征是末位数字能被2或5整除；2、被4或25整除的数的特征是末

4、两位数字能被4或25整除；3、被8或125整除的数字的特征是末三位数字能被8或125整除；4、被3或9整除的数的特征是个位数字的和能被3或9整除；5、被11整除的数的特征是其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除；解题过程中我们常用的性质：1、若ab，bc，则a

5、c；2、若ab，ac，则a

6、b±c；3、若ab，则anbn是正整数；4、若a、b互质，且abc，则ac；5、若a、b互质，且ac，bc，则ab

7、c；6、n个连续整数中，必有一个能被n整除；§1.3~1.4奇数和偶数把全体整数分成奇数类和偶数类是一种最常用的分类方法；奇数就是通常所述的单数，偶数就是通常所说的双数；一般的，一个整

8、数如果能被2整除就叫做偶数，如果不能被2整除（即被2除余1）就叫做奇数；偶数可以记作2n，奇数可以记作2n-1或2n+1（n为整数）；奇数和偶数有一些十分简单又明显的性质：1、奇数不等于偶数；2、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；3、奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和都是偶数；4、奇数×奇数=奇数，偶数×整数=偶数，偶数×偶数=4的倍数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性；6、奇数的平方为4k+1型的数，偶数的平方为4k型的数（k为整数）；7、任意两个整数的平方和被4除一定不余3；8、任意两个整数的平方差被4除一定不余2；§1.5质数

9、与合数对于正整数可以依照它们的正约数的个数分为三类：一类是只有一个正约数的数，它就是1；一类是只有两个正约数的数，这两个正约数只能是1和它本身，例如5,7,11，这样的数叫做质数（也叫做素数）；第三类是有两个以上的正约数的数，例如6就有4个正约数：1,2,3,6，这样的数叫做合数。因此，正整数是由1，质数，合数三部分组成的。关于质数、合数有下列性质：1、质数有无限多个；2、除2以外的全体质数都是正奇数，除2以外的全体正偶数都是合数；3、大于1的整数的所有约数中，1以外的最小正约数一定是质数；1、如果a是合数，那么a的最小质因数一定不大于a；§1.6算术基本定理每一个合数都可以写成几个质数相乘的

10、形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数的连乘的形式来表示，叫做分解质因数。分解质因数有下面一个重要的定理：算术基本定理：任何一个正整数N>1，都能分解成质因数的连乘积，即：N=P1α1∙P2α2∙⋯∙Pnαn，（n≥1）其中p1，p2，⋯，pn为互不相等的质数，α1，α2，⋯，αn是正整数；如果不考虑顺序，则这个分解式是唯一的。§1.7最大公约数与最小公倍数对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都能整除它们中的每一个数，所以1、2、4都是它们的公约数，其中4是这些公约数中的最大的。把这个概念推广到一般情形，有如下定义：如果a1，a2，⋯，an和d都是正整数，且d

11、a1，d

12、

13、a2，⋯，d

14、an，那么d叫做a1，a2，⋯，an的公约数。公约数中最大的叫做a1，a2，⋯，an的最大公约数，记作（a1，a2，⋯，an）。当（a，b）=1时，我们称a，b互质a1，a2，⋯，an的最大公约数（a1，a2，⋯，an）表示的是一个正数，是一个能够整除a1，a2，⋯，an并且能被a1，a2，⋯，an的每一个约数整除的数；常用的有关最大约数的性质有：1、若a

15、b，则（a，b）=a；2、