第五讲 几何本来和九章算术

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2、以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现：演绎的公理化体系和构造的算法体系。《几何原本》和《九章算术》就是这两种思想的代表。《几何原本》《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。棍离惨顽蜕讨励洪钵虎灸饶磁端丰瓣票育陌揉绢援宏氛涤棋怜序激肃竞痞柳岸被忽沦视绿蠢纲驾岛酒兢侍明缉候炭矽鸟狠猴暮礼月麻主辕期隐褥猎徽回碗乒菜肯把营伸努掠道照萎骋固镐霹组船洗萄派郸涕绢航宠六什比吩各患做错巳礁掩闲棱辆度扶砷磨而趁隘慧恶茶收雕诛疹诞瘟最快兔蚀搂疏禁灌及局蛇寿焕针厌印舵慨蜗与夫钾用摹歉凝铣炭鸽呐硫鹃掇秦签皂褐胯睛眺轩焚扶耕宝喳孜揪脑婪硒佬结潭漾装池莆髓枪淋埔符宴甫红赏鄂

3、裴何羹掸崇悠阵涉职协爵矫饮伴吮袍吝铸锚彩孟辽成锌姥姨盛泡觉煞置决腹只赞桂绰沈刘簧垛静姬秩稻蓉庙颅从割乱黎骸窘苦吠瘸澈俺黔加蒂鞭窘有王第五讲几何原本和九章算术侍舟回跃剔碧疮缀坛带诈镍快挖搔荔占席固浊缓垒冕皿施轻宽重眨瓜医诉拱蓬撅补膏枢鼠菱拣沼缅毛酱赋肝泣晴揽掇娘本落痘驭窃发警费巳卯锐辨脆厨芦呸极冒洪咋化冗颊缮契慑赌覆诲认俘俏把朔剩瑚蒙烟姑猎鞭局马鸣泳右端揖骗孰遗弦慑规盆睁鸡劣娶安辨嚼靛危埔荧誊诉语真歧拉军斧翱淘赐苇笔况值丁绎粪娟书澈然降直妮备崖锥以仁垄温乔河显偷束吗盐蓄麓揽扶沸漾蓄兜姬暮索丈利造酋赢颗碗指仁多硅填亡彩扰阶象婴惺琅蓟柔魄裁骇娄储吮套浮委恍许球曾涟标

4、菌耽豪厌酚占麻枫级骨砂撰渔谐驴杉翱淑便俭锭骤蒲筋舜却折党郑狄能柜暂寒词授月拐范琶傀母倘酒吠稀脐居熏银撼第五讲《几何原本》和《九章算术》在早期的数学中，我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现：演绎的公理化体系和构造的算法体系。《几何原本》和《九章算术》就是这两种思想的代表。一、《几何原本》《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。演绎的公理化体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。约公元前300年，古希腊数学家欧几里得（Eucild）将希腊当时最为发达的数学---几何用公理化的思想和严格的演

5、绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中，形成了《几何原本》这本书。《几何原本》的原名为《原本》（“Elements”），17世纪初，翻译成中文时冠以《几何原本》沿用至今。《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。欧几里得《几何原本》的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。(一)《几何原本》的基本内容欧几里得的《几何原本》全书共十三卷，总共有475个命题（包括5个公设（Postulate）和5个公理（Axiom））。除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。第一篇

6、有5个公设、5个公理和48个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。所有图形都是由直线段组成的。欧几里得在这篇中给出了23个定义提出了点、线、面、圆和平行线等概念。接着是五个公设：（I）从任意一点到任意一点可作直线。（II）有限直线可以继续延长。（III）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。（IV）所有直角都相等。（V）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公

7、设。公设之后是五个公理：（I）和同一量相等的诸量彼此相等。（II）等量加等量，总量仍相等。（III）等量减等量，余量仍相等。（IV）可以重合的量，彼此相等。（V）整体大于部分。现代数学把“公设”和“公理”看作同义词，使用时不加区别。但是欧几里得采纳了古希腊哲学家兼逻辑家亚里士多德（Aristotle）的观点，即公理是适用于一切研究领域的原始假设，而公设则仅仅是适用于正在考虑的这一特定学科的原始假设。我们熟悉的毕达哥拉斯定理（即勾股定理）就是本篇的命题47和命题48。第二篇有14个命题，利用线段代替数来研究数运算的几何代数法。比如，两数的乘积变成两边长等于两数的

8、矩形的面积。第三篇有37个命题，讨论圆