第五讲 几何原本和九章算术

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1、第五讲《几何原本》和《九章算术》在早期的数学中，我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现：演绎的公理化体系和构造的算法体系。《几何原本》和《九章算术》就是这两种思想的代表。一、《几何原本》《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。演绎的公理化体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。约公元前300年，古希腊数学家欧几里得（Eucild）将希腊当时最为发达的数学---几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中，形成了《几何原本》这本书。《几何原本》的原名为《原本》（“Elements”），17世纪初，翻

2、译成中文时冠以《几何原本》沿用至今。《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。欧几里得《几何原本》的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。(一)《几何原本》的基本内容欧几里得的《几何原本》全书共十三卷，总共有475个命题（包括5个公设（Postulate）和5个公理（Axiom））。除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。第一篇有5个公设、5个公理和48个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。所有图形都是由

3、直线段组成的。欧几里得在这篇中给出了23个定义提出了点、线、面、圆和平行线等概念。接着是五个公设：（I）从任意一点到任意一点可作直线。（II）有限直线可以继续延长。（III）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。（IV）所有直角都相等。（V）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。公设之后是五个公理：（I）和同一量相等的诸量彼此相等。（II）等量加等量，总量仍相等。（III）等量减等量，余量仍相等。（IV）可以重合的量，彼此相等。（V）整体大于部分。现代数学把

4、“公设”和“公理”看作同义词，使用时不加区别。但是欧几里得采纳了古希腊哲学家兼逻辑家亚里士多德（Aristotle）的观点，即公理是适用于一切研究领域的原始假设，而公设则仅仅是适用于正在考虑的这一特定学科的原始假设。我们熟悉的毕达哥拉斯定理（即勾股定理）就是本篇的命题47和命题48。第二篇有14个命题，利用线段代替数来研究数运算的几何代数法。比如，两数的乘积变成两边长等于两数的矩形的面积。第三篇有37个命题，讨论圆以及与之有关的线和角等。第四篇有16个命题，讨论圆的内接和外切多边形。第五篇有25个命题，讨论量和量之比的比例理论。（当时只对可公度量，后来推广到一般量）第六篇有33个命题，利

5、用比例理论讨论相似形。第七、八、九篇共有102个命题，讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的性质。本篇把数看成线段，但论证并不依赖于几何。第十篇有115个命题，对于给定量不可公度的量进行分类。第十一篇有39个命题，讨论空间直线与平面的各种位置关系第十二篇有18个命题，讨论面积和体积。第十三篇有18个命题，主要讨论五种正多面体。(一)《几何原本》的特点1.封闭的演绎体系《几何原本》是数学中最早形成的演绎体系。在形式上，它是以少数原始概念（不定义概念），如点、线、面（虽然《几何原本》中“定义”了这三个概念，但后来的推演中却没有利用这些定义，而且这些定义只是几何形象的直观描述，严格他说并不能算作

6、定义。因此一般仍将这三个概念看作《几何原本》中的不定义概念）等等，和不证明的公设和公理为基础，运用亚里士多德所创立的逻辑学，把当时所知的几何学中的主要命题（定理）全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。在这个整体中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此，《几何原本》是一个封闭的体系。当然，《几何原本》在证明某些命题时确实运用了除公设、公理和逻辑之外的“直观”。但是那只是个别现象，并不影响整个体系。另外，从《几何原本》与当时的社会生产、

7、生活的关系看，它的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。2.抽象化的内容希腊人在研究几何方面的功绩之一是把数学变成抽象化的科学。希腊人之前，古埃及和巴比伦数学是经验的数学，计算田地大小，计算物体的书目，都有实际目的，而希腊人研究数学摆脱了实际，它们不关注这些概念和现实事物的关系，他们的几何里没有田地，也没有一张桌子，他们