几何原本第五卷.pptx

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1、几何原本第V卷组员：许月美227苑鑫232张翠竹233张迪234张晓宇236张宇昊237祝雪倩242第V卷介绍《几何原本》前6卷是平面几何内容。第V卷发展了一般比例论，赢得后世数学家的高度赞扬。毕达哥拉斯学派的比例论只适用于可公度量，而这里的一般比例论则适用于一切可公度与不可公度量。该卷的核心即含于开篇的定义中，定义4表明：「两量之间有一个比，若其中之一倍乘时能超过另一量。」此定义排斥了无穷大与无穷小，与今天的所谓阿基米德公理类同。定义5给出了比例的定义，被认为是古希腊数学中几个最具创造的成果之一。余下的定义有

2、关多种比的变换─交比、反比、合比、分比等。在之后给出的25个命题中应用了以上各种运算。第V卷定义1.当一个较小的量能量尽一个较大的量时，我们把较小量叫做较大量的一部分。2.当一个较大的量能被较小的量量尽时，我们把较大量叫做较小量的倍量。3.两个同类量彼此之间的一种大小关系叫做彼此。4.把一个量几倍以后能大于另外一个量时，则说明这两个量彼此之间有一个比。5.有四个量，第一量比第二量与第三量比第四量叫做有相同比，如果对第一与第三个量取任何同倍数，又对第二与第四个量取任何同倍数，而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或

3、小于的关系，那么第三与第四倍量之间便有相应的关系。6.有相同比的四个量叫做成比例的量。7.在四个量之间，第一、三两个量取相同的倍数，又第二、四两个量去另一相同的倍数，若第一个的倍量大于第二个的倍量，但是第三个的倍量不大于第四个的倍量时，则称第一量与第二量的比大于第三量与第四量的比。8.一个比例至少要有三项。9.当三个量成比例时，则称第一量与第三量的比是第一量与第二量的二次比。10.当四个量成连比例时，则称第一量与第四量的比为第一量与第二量的三次比，不论有几个量成连比都以此类推。11.在成比例的四个量中，将前项与

4、前项且后项与后项叫做对应量。12.更比例是前项比前项且后项比后项。13.反比例是后项作前项，前项作后项。14.合比例是前项与后项的和比后项。15.分比例是前项与后项的差比后项。16.换比例是前项比前项与后项的差。17.首末比例指的是，有一些量又有一些与它们个数相等的量，若在各组每取二量做成相同的比例，则第一组量中首量比末量如同第二组中首量比末量。或者换言之，这是取掉中间项保留两头的项。18.调动比例是这样的，有三个量，又有另外与它们相等的三个量，在第一组量里前项比后项如同第二组量里前项比后项，这是，第一组量里的

5、后项比第三项如同第二组量里第三项比前项。第V卷命题命题1.如果有任意多个量，分别是同样多个量的同倍量，则无论这个倍数是多少，前者的和也是后者的和的同倍量。命题2.如果第一量是第二量的倍量，第三量是第四量的倍量，其倍数相等；又第五量是第二量的倍量，第六量时第四量的倍量，其倍数相等。则第一量与第五量的和是第二量的倍量，第三量与第六量的和是第四量的倍量，其倍数相等。命题3.如果第一量是第二量的倍量，第三量是第四量的倍量，其倍数相等；如果再有同倍数的第一量及第三量，则同倍后的这两个量分别是第二量及第四量的倍量，并且这两

6、个倍数是相等的。命题4.如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比，取第一量与第三量的任意同倍量，又取第二量与第四量的任意同倍量，则按顺序它们仍有相同的比。命题5.如果一个量是另一个量的倍量，而且第一个量减去的部分是第二个量减去的部分的倍量，其倍数相等。则剩余部分是剩余部分的倍量，整体是整体的倍量，其倍数相等。命题6.如果两个量时另外两个量的同倍量，而且由前二量中减去后两个量的任何同倍量。则剩余的两个量或者与后两个量相等，或者他们是同倍量。命题7.相等的量比同一个量，其比相同；同一个量比相等的量，其比相同。命

7、题8.有不相等的二量与同一量相比，较大的量比这个量大于较小的量比这个量；反之，这个量比较小的量大于这个量比较大的量。命题9.几个量与同一个量的比相同，则这些量彼此相等；且同一量与几个量的比相同。则这些量相等。命题10.一些量比同一量，比大者，该量也大；且同一量比一些量，比大者，该量较小。命题11.凡与同一个比相同的比，它们也彼此相同。命题12.如果有任意多个量成比例，则其中一个前项比相应的后项如同所有前项的和比所有后项的和。命题13.如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比，又第三量与第四量的比大于第五量与

8、第六量的比。则第一量与第二量的比也大于第五量与第六量的比。命题14.如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比，且第一量大于第三量，则第二量也大于第四量；如果前二量相等，则后二量也相等，而过第一量小于第三量，则第二量也小于第四量。命题15.部分与部分的比按相应的顺序与它们同倍量的比相同。命题16.如果四个量成比例，则它们的更比例也成立。命题17.如果几个量成合比例，则它们也成分比例。