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1、第19课时 双曲线习题课一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知顶点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，为双曲线的是( )A．
2、PF1
3、－
4、PF2
5、＝3B．
6、PF1
7、＋
8、PF2
9、＝6C．
10、
11、PF1
12、－
13、PF2
14、
15、＝4D．
16、
17、PF1
18、－
19、PF2
20、
21、＝3解析：A为双曲线的一支；B为椭圆；C为两条射线．答案：D2．在双曲线标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1或－＝1解析：因没有说明焦点所在的坐标轴，故焦点分在x轴、y轴上两种情况．答案：D
22、3．双曲线－＝1上的点P到点(5,0)的距离是15，则点P到点(－5,0)的距离是( )A．7B．23C．5或23D．7或23解析：就点P在双曲线的左支和右支解方程
23、PF
24、－15＝±8，可得
25、PF
26、＝7或
27、PF
28、＝23.答案：D4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，代入＋＝1(a>b>0)可得x2＝，则S＝4x2＝16，所以a2b2＝
29、4(a2＋b2) ①.又由e＝＝＝可得a＝2b.代入①式得b4＝5b2，于是b2＝5，a2＝20.所以椭圆方程为＋＝1，答案应选D.答案：D5．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )A.B.C.D.解析：设
30、
31、＝m，
32、
33、＝n，由得m·n＝4.由S△F1MF2＝m·n＝
34、F1F2
35、·d(d为点M到x轴的距离)，解得d＝.答案：B6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )A．(1，)B．(1，)∪(，＋∞)C．(，＋∞)D．[，＋∞)解析
36、：直线y＝2x必过原点，要使直线与双曲线有交点，则双曲线渐近线的斜率
37、k
38、>2，即>2，>4，解得e2＝>5，所以e>.答案：C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1，P2坐标分别为(3，－4)，，则双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的焦点在y轴上，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．∵点P1，P2在双曲线上，∴点P1，P2的坐标适合方程．将点(3，－4)，的坐标分别代入方程中，得方程组将和看作整体，解得∴∴双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝18．
39、设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.解析：由得又PF1垂直于x轴，所以a＝c，则e＝.答案：9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为线段PF的中点，坐标原点O为线段FF′的中点，所以EO∥PF′.又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且
40、PF′
41、＝2×＝a，故
42、PF
43、＝3a.根据勾股定理得
44、FF′
45、
46、＝a.所以双曲线的离心率为＝.答案：三、解答题(本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)10．(15分)(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．解：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．∵M(3，－2)在双曲线上，∴－＝λ，∴即λ＝－2.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－a
47、b＝0，∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②解①②组成的方程组得a2＝3，b2＝1，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.11．(15分)已知双曲线x2－＝1，问：过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：假设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．③∵A(1,1)为线段PQ的中点，∴将④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)．⑥P，Q是不同的两点，故x1≠x2，
48、则直线l的斜率k＝＝2.∴若符合题设条件的直线l存在，其方程为2x－y－1＝0.而由得2x2－4x＋3＝0.根据Δ＝－8<0，说明所求直线不存在．12．(15分)过
