1第19课时 双曲线习题课

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1、第19课时 双曲线习题课一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.已知顶点F1(-2,0),F2(2,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,为双曲线的是(  )A.

2、PF1

3、-

4、PF2

5、=3B.

6、PF1

7、+

8、PF2

9、=6C.

10、

11、PF1

12、-

13、PF2

14、

15、=4D.

16、

17、PF1

18、-

19、PF2

20、

21、=3解析:A为双曲线的一支;B为椭圆;C为两条射线.答案:D2.在双曲线标准方程中,若a=6,b=8,则其标准方程是(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1或-=1解析:因没有说明焦点所在的坐标轴,故焦点分在x轴、y轴上两种情况.答案:D

22、3.双曲线-=1上的点P到点(5,0)的距离是15,则点P到点(-5,0)的距离是(  )A.7B.23C.5或23D.7或23解析:就点P在双曲线的左支和右支解方程

23、PF

24、-15=±8,可得

25、PF

26、=7或

27、PF

28、=23.答案:D4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,代入+=1(a>b>0)可得x2=,则S=4x2=16,所以a2b2=

29、4(a2+b2) ①.又由e===可得a=2b.代入①式得b4=5b2,于是b2=5,a2=20.所以椭圆方程为+=1,答案应选D.答案:D5.已知双曲线x2-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且·=0,则点M到x轴的距离为(  )A.B.C.D.解析:设

30、

31、=m,

32、

33、=n,由得m·n=4.由S△F1MF2=m·n=

34、F1F2

35、·d(d为点M到x轴的距离),解得d=.答案:B6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是(  )A.(1,)B.(1,)∪(,+∞)C.(,+∞)D.[,+∞)解析

36、:直线y=2x必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率

37、k

38、>2,即>2,>4,解得e2=>5,所以e>.答案:C二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点P1,P2坐标分别为(3,-4),,则双曲线的标准方程为________.解析:∵双曲线的焦点在y轴上,∴设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).∵点P1,P2在双曲线上,∴点P1,P2的坐标适合方程.将点(3,-4),的坐标分别代入方程中,得方程组将和看作整体,解得∴∴双曲线的标准方程为-=1.答案:-=18.

39、设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=________.解析:由得又PF1垂直于x轴,所以a=c,则e=.答案:9.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为________.解析:设双曲线的右焦点为F′.由于E为线段PF的中点,坐标原点O为线段FF′的中点,所以EO∥PF′.又EO⊥PF,所以PF′⊥PF,且

40、PF′

41、=2×=a,故

42、PF

43、=3a.根据勾股定理得

44、FF′

45、

46、=a.所以双曲线的离心率为=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共45分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)10.(15分)(1)求与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点M(3,-2)的双曲线的标准方程;(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为,求此双曲线的标准方程.解:(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).∵M(3,-2)在双曲线上,∴-=λ,∴即λ=-2.∴所求双曲线的标准方程为-=1.(2)∵e=,∴=,∴=,∴a2=3b2.①又∵直线AB的方程为bx-ay-a

47、b=0,∴d==,即4a2b2=3(a2+b2).②解①②组成的方程组得a2=3,b2=1,∴双曲线的标准方程为-y2=1.11.(15分)已知双曲线x2-=1,问:过点A(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于P,Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:假设符合题意的直线l存在,并设P(x1,y1),Q(x2,y2),则①-②得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).③∵A(1,1)为线段PQ的中点,∴将④⑤代入③得x1-x2=(y1-y2).⑥P,Q是不同的两点,故x1≠x2,

48、则直线l的斜率k==2.∴若符合题设条件的直线l存在,其方程为2x-y-1=0.而由得2x2-4x+3=0.根据Δ=-8<0,说明所求直线不存在.12.(15分)过

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