神奇的莫比乌斯带

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1、15—17神奇的莫比乌斯带有一个小偷偷了一位很老实的农民的东西，并被当场捕获，有人将小偷送到县衙。县官发现小偷正是自己的儿子，于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官去办理。聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起，然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官就将纸条捏在手上拿给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，又看到确实是自己的字迹，只好自认倒霉。县官清楚是执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。一日，又拿了一

2、张纸条，要执事官仅用一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。执事官不慌不忙地把纸条扭了一下，粘住两端，提起毛笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑色。县官的诡计又落空了。图一图二当然现实生活中可能不会发生这样的故事，但是这个故事却很好地反映出一个很有名的几何体的特点，这个几何体就是公元1858年由德国数学家莫比乌斯发现的具有魔术般神奇性质的单面纸带(后人即称之为“莫比乌斯带”)：将一个长纸条的一头扭转180，后再两头粘接起来。普通纸带具有两个面(即双侧曲面，见图一)，一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样粘接起来的纸带只有一个面(即单侧曲

3、面，见图二)，只能不间断地涂上一种颜色；而且一只蚂蚁可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘!一、相关介绍莫比乌斯带，是一种拓扑学拓扑学：详见附录。结构，它只有一个面（表面）和一个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。15—17二、发现人物奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯1790年11月17日生于瑙姆堡附近的舒尔普福塔，1868年9月26日卒于莱比锡。1809年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。1814年获博士学位，1816年任副教授，1829年当选为柏林

4、科学院通讯院士，1844年任莱比锡大学天文与高等力学教授。莫比乌斯的科学贡献涉及天文和数学两大领域。他领导建立了莱比锡大学天文台并任台长。因发表《关于行星掩星的计算》而获得天文学家的赞誉，此外还著有《天文学原理》和《天体力学基础》等天文学著作。在数学方面，莫比乌斯发展了射影几何学的代数方法。他在其主要著作《重心计算》中，独立于J.普吕克等人而创立了代数射影几何的基本概念——齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间的关系，并对交比概念给出了完善的处理。莫比乌斯最为人知的数学发现是后来以他的名字命名的单侧曲面——莫比乌斯带。此外，莫比乌斯对拓扑学球面三角等

5、其他数学分支也有重要贡献。三、相关实验做几个简单的实验，就会发现“莫比乌斯带”有许多惊奇有趣的结果。图三图四15—17序号项目内容实验一（如图三）实验内容先在裁好的一张纸条正中间画一条线，然后粘成“莫比乌斯带”，最后沿线剪开。实验结果我们把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿。事实上，我们会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。实验二（如图四）实验内容先在纸条上划两条线，然后粘成“莫比乌斯带”，再用剪刀沿线剪开。猜一猜，剪开后的结果是什么?是一个大圈，还是三个圈儿?实验结果事实上，它变成了缠绕在一起的两个圈，而且一个是大圈，一个是小圈。有趣的

6、是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。小结@莫比乌斯带只存在一个面，即单侧曲面。@如果沿着莫比乌斯带的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯带空间大一倍的且具有正反两个面的环，而不是形成两个莫比乌斯带或两个其它形式的环。@如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的，从此以后再沿着环1和环2

7、以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。15—17四、主要特性莫比乌斯带的主要特性是单侧性。关于莫比乌斯带的单侧性，可用如下的方法直观地了解。如果给莫比乌斯带着色，笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把莫比乌斯带两面均涂上颜色，即区分不出哪是正面，哪是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周

8、指定一个方向，称为相伴该