§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释

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1、§16.2物质波的波函数，玻恩的统计解释（一）物质波的波函数ψ（r，t）在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为、波长为λ，沿x轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y（x，t）可表示如下：（16.2.1）此式的y表示：t时刻、在x位置的质点，离开平衡位置的位移．A为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等．在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y改为电场强度Ey和磁场强度Hz：（16.2.2）（16.2.3）利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来Œ同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.：〔欧拉公式：〕（16.

2、2.4）根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：〔单频率平面机械波的复数表式〕（16.2.5）表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．可以设想，物质波的波函数ψ（x，t）也可仿照上式写出：（16.2.6）这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p都是不变量，与它缔合的物质波的频率和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p代替（16.2.6）式中的和λ：（16.2.7）物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．p·r=pxx+pyy+pzz如果自由粒子在三维空间中运动，

3、则上式的px应改为p·r，波函数应写为ψ（x,y,z,t）或ψ（r，t）：（16.2.8）（二）物质波波函数的统计解释物质波波函数ψ（r，t）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该

4、时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：在t时刻，粒子出现在（x,y,z）处的体积元dV=dxdydz内的几率∝

5、ψ(r，t)

6、2dxdydz=

7、ψ(r，t)

8、2dV．在t时刻，粒出现在（x,y,z）处的几率密度∝

9、ψ(r，t)

10、2．（16.2.9）

11、ψ

12、2=ψψ*=A2虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下：〔微观粒子的几率密度〕（16.2.10）这就是1926年玻恩提出的波函

13、数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，为当时的一些知名科学家，包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认Œ杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．（三）物质波波函数ψ的条件（1）波函数的标准条件在某一时刻t，在空间某一定点（x,y,z），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．（2）波函数的归一化条件在时刻t，粒子出现在

14、（x,y,z）处的几率为

15、ψ

16、2dV．在整个运动空间V内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：〔波函数的归一化条件〕（16.2.11）（四）非相对论的波函数本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v<

17、ψ

18、2时，静能E0=m0c2不起作用．因此，可用能量E代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψŒ〔美〕E·H·威切曼著，复

19、旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.．、（16.2.14）此式亦可推广于（16.2.8）式：（16.2.15）