李德荃的博客：“调和平均数”这个概念实无必要

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1、李德荃的博客：“调和平均数”这个概念实无必要 在统计理论与实践中，调和平均数这个概念常被提及。但使用这个概念来计算平均数，其计算方式实在有悖于我们对平均数的惯常理解。所以我建议废止调和平均数这个概念。      另外，盲目地套用算术平均数和加权平均数这两个指标也容易产生错误。      例如，假设有一辆汽车分别以时速20公里和30公里往返于两个城市之间。请问其往返于这两个城市一个来回的平均时速是多少？      在许多资料中，这是一个典型的使用调和平均数的例子。依据调和平均数的计算公式，该汽车往返于这两个城市一个来回的平均时速为：  

2、   2/[(1/20)+(1/30)]=24（公里/小时）     这个结果没错。可问题是，有几个人能搞懂这个算法的逻辑？     另外，在这个例子中，很容易直接套用算术平均数的计算公式来计算汽车在这两个城市间一个来回的平均时速：（20+30）/2=25公里/小时这个结果是错误的。所以，平均数的计算需要谨慎。最好的作法是无论哪种平均数的计算公式都不直接套用。而是直接利用平均数的惯常定义来计算平均数。平均数的一般定义是：各单位某一数量标志值的总和除以单位数目。就这个例子而言，根据平均数的一般概念，平均速度应等于距离除以时间。令这两个城

3、市之间的距离为S公里，则其两个单程所耗时间分别为S/20和S/30。因此该辆汽车往返于这两个城市一个来回的平均时速是：（S+S)/[(S/20)+(S/30)]=24（公里/小时）显然，这个算法简明易懂。再例如，某人购买某种蔬菜。上午、下午各买1元。上午价格为0.5元/斤，下午价格为0.4元/斤。问其平均购买价格是多少?解：象这个题目直接利用平均数的定义计算即可。因此有：平均购买价格=两次购买的支出总额/两次购买的数量之和=（1+1）/[(1/0.5)+(1/0.4)]=0.44(元/斤）      本例可使用调和平均数的算式，且所得

4、算式与上式完全相同。但实在无此必要。另外也要避免（0.5+0.4）/2=0.45(元/斤）这种直接套用算术平均数计算公式的作法。      再举一个例子，某日，自甲、乙两农贸市场搜集得到三种农产品的价格、成交量、成交额资料如下表所示。试问：哪一个市场的平均价格比较高？品种价格（元/千克）    x甲市场成交额（元）  m乙市场成交量（千克）    f A B C  1.2  1.4  1.5  12000  28000  15000  20000  10000  10000合计  ——  55000  40000解：根据平均数的定义，

5、甲市场的平均价格为：甲市场的平均价格=成交总额/成交数量之和                          =（12000+28000+15000）/[(12000/1.2)+(28000/1.4)+(15000/1.5)]                          =1.375(元/千克） 而根据平均数的定义，乙市场的平均价格为：乙市场的平均价格=成交总额/成交数量之和                           =（1.2*20000+1.4*10000+1.5*10000）/(20000+10000+1000

6、0)                           =1.325(元/千克）在这个例子中，甲市场的平均价格可套用加权调和平均数的计算公式；乙市场的平均价格可套用加权算术平均数的计算公式。但为防止出错，还是如上述计算过程直接套用平均数的定义为好。     这个例子还有一种可能的处理方法，就是分别把成交金额和成交数量作为权重，来分别计算两个市场的加权平均价格。这种算法的结果不同于基于平均数定义的上述计算结果，故应避免采用。在网络上，我曾经看到如下两个案例：例1：一种溶液，蒸发掉一定量的水之后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样数量的水

7、之后，溶液的浓度变为12%；试问：第三次蒸发掉同样多的水之后，该溶液的浓度将是多少？解：假设每次蒸发掉的水量为y；再假设第一次蒸发一定量的水之后，溶液的总量为x，则在第一次蒸发之后，该溶液中所含物质的数量为10%x。根据题意，第二次蒸发之后，该溶液所含物质浓度的计算公式为：10%x/(x-y)=12%所以有x=6y。因此第三次蒸发掉同样的水量之后，该溶液所含物质的浓度为：10%x/(x-y-y)=10%*6y/(6y-y-y)=15%例2：某人沿着电车线路均速行走。已知每15分钟有一辆电车从后面追过，每10分钟有一辆电车迎面开过。假设

8、电车在两个起站点的发车时间间隔是相同的，各电车的速度相同且均速行驶。试求发车的时间间隔。解：令S为发自同一个站点任意两辆相邻车辆之间的间距，T为每一个站点发车的时间间隔，vd为电车的时速，vr为行人的时速。再假设每间隔t