波利亚数学似真推理

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1、波利亚数学似真推理第一章归纳法  归纳法（1）经验和观念  经验修正人们的观念。我们从经验中学习，或者莫如说应该从经验中学习。尽可能地发挥经验的最大作用是人类的一个伟大目标，为实现这个目标而工作，是科学家的真正使命。无愧于这个称号的科学家应该努力从自己的经验中提炼出最正确的部分，并积累适当的经验，用来建立起关于某个问题的正确观念。科学家处理经验的步骤，通常称为归纳法。归纳方法的最明显的例子可以在数学研究中找到。在下一节我们举一个简单的例子。归纳法（3）印证 你不可轻易地相信一个未经证明的推测，不管它是许多权威建议的，还是你自己提出的。你应该设法证明它，或者推翻它，你应该再做些试验。

2、   我们可以找一些另外的偶数来检验哥德巴赫猜想，鉴定它是否二质数之和。例如以60来试，用欧拉所说的“渐近实验”方法。60是偶数，它是两个质数的和吗?式子  60=3十质数 成立吗?否，57不是质数。是否     60=5十质数? 答案还是否定的：55不是质数。继续试下去，预想的结果就会出现，下一步试验产生60=7十53 而53就是质数。推测得到又—个实例的印证。相反的结果会立即宣告哥德巴赫猜想的失败。如果将已知的偶数，试以所有的质数，都不能把它分成二质数之和，就说明这个推测是不可靠的。假如只试过60，还无法作出肯定的结论。当然你绝对不会只凭单一的证例来证明一个定理，很自然地，你会

3、把这种印证看作支持推测的有利的兆头，把这个推测看作较可信的。当然，信任的程度还得由你自己决定。让我们再回顾一下60这个数字，在试过3，5和7这些质数之后，还可以继续试30以下的数。（显然，没有必要试以超过30=60/2的数，因为和等于60的二质数之一必不大于30。）因此，可得分60为二质数之和的所有情况如下： 60=7+53=13+47=17+43=19+41=23+37=29+31 我们像观察60那样系统地一个接一个地考察其他偶数，其结果列表如下：6=3+38=3+510=3+7=5+512=5+714=3+11=7+716=3+13=5+1118=5+13=7+1120=3+1

4、7=7+1322=3+19=5+17=11+1124=5+19=7+17=11+1326=3+23=7+19=13+1328=5+23=11+1730=7+23=11+19=13+17 上表的所有实例都可以印证推测成立，每—次延长上表的印证都增强推测的真实感，使它更可靠，愈加似真。当然，这种印证的累积并不能证明这个推测的成立。我们必须研究搜集到的观察材料，比较，对用，然后寻找隐含着的线索。在上表中，要发现其主要线索是非常困难的，但仔细考查此表，可以更清楚地了解推测的意义。从表中可看出，每个偶数都可分成若干组二质数之和(6只有一组，30有三组)，偶数2n的分组数似乎随n呈“不规则增长

5、”。哥德巴赫推测想要说明，不论这张表延展到什么程度，分组数永远不会下降到0。我们可将已考察过的特例分成两类，一类是作出推测之前的；一类是之后的。前者提示此推测，后者则印证它，两类实例都提供某些推测跟“事实”的吻合之处。上表没有区别出“提示吻合”与“印证吻合”。现在我们再试着从前面的推理中找出典型归纳的脉络。有了—个推测，我们就得试着判断它的真伪。我们的推测是由已判断为真实的若干特例所提示的普遍性命题，当我们用更多的特例去检验它时，如果考察的结果，推测均成立，那么此推测愈加可信。我觉得，我们所做的仅仅是有理智的人平常所做的事。在这样做的时候，我们看来是采取了这种原则：推测的普遍性命题

6、，每因新的特例的印证而愈加可信。 归纳法（4）归纳的态度在日常生活中，我们常常依赖想当然，换句话说，我们不敢检验某些原本易被经验驳倒的见解，因为我们怕影响自己精神的常态。在某些场合，依赖想当然并非不聪明。但在科学上，我们必须持一种截然不同的态度，即归纳的态度。持这种态度的目的是要尽可能地使我们的见解跟经验相符。这就需要从事实中作出肯定的选择；需要很快地从观察概括出一般规律，再在一般规律的指导下作更具体的观察；需要在无数不同情形中说出“有可能”和“或许”；还需要做其他等等事情，特别是以下三条：第一，我们应该准备重新考虑自己的见解。第二，在原先的见解受到强有力的情况影响，不得不予修改时

7、，我们应该修改自己的见解。第三，在没有充分理由的情况下，我们不应该随意改变自己的见解。这几点看来很平常，但要在日常做到它则需要有些不太平常的修养。第一条原则要求“理智的勇敢”。你要有勇气修正自己的见解。伽利略（Galileo）向当时的偏见和亚里士多德（Aristotje）的权威挑战，就是一种伟大的理智的勇敢。第二条原则要求“理智的诚实”。只是因为是“自己的”见解，便固执已被实践驳倒的推测就是不诚实。第三条原则要求“理智的慎重”。不经过严格的考察验证，只为了附和时尚就改