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1、第10课时 空间的角的计算(2) 教学过程一、问题情境1.怎样用向量方法求解两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角?2.两条异面直线所成的角可以转化为求两条异面直线的方向向量的夹角;斜线与平面所成的角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量(平面的“方向”)的夹角,那么类比可知二面角的平面角是否也可以转化为两个平面的“方向”即两个平面的法向量的夹角呢?二、数学建构问题1 二面角的大小是如何度量的?问题2 二面角的平面角θ是如何定义的?你能在图示中作出二面角的平面角吗?问题3 什么叫平面的法向量?你能在图示中作出平面α,β的法向量吗?问题4 观察图
2、示,请研究二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角的关系.[1](图1)(图2)解 在定义了平面的法向量之后,我们就可以用平面的法向量来求两个平面所成的角.由于平面的法向量垂直于平面,这样,两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.二面角的取值范围是[0°,180°],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角φ相等或互补.图1中,θ=φ;图2中,θ=180°-φ.三、数学运用【例1】 (教材第110页例4)已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点.(1)求A1D与EF所成角的大小;(2)求A1
3、F与平面B1EB所成角的大小;(3)求二面角C-D1B1-B的大小.[2](见学生用书P68)[处理建议] 先引导学生画出正确的图形,并建立适当的空间直角坐标系;再让学生根据已学知识选择适当的方法解题;最后进行点评或修正.[规范板书] 解 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E,F.(例1) (1)因为=(-1,0,-1),=-,-,0,所以
4、
5、=,
6、
7、=,·=.由cos<,>==,可知向量与的夹角为
8、60°.因此,A1D与EF所成角的大小为60°.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AB⊥平面B1C1CB,所以是平面B1EB的一个法向量.因为=(0,1,0),=,所以
9、
10、=1,
11、
12、=,·=.由cos<,>==,可得向量与的夹角约为70.53°.因此,直线A1F与平面B1EB所成的角约为19.47°.(3)因为AC1⊥平面B1D1C,所以是平面B1D1C的一个法向量.又因为AC⊥平面B1D1DB,所以是平面B1D1DB的一个法向量.因为=(-1,1,1),=(-1,1,0),所以
13、
14、=,
15、
16、=,·=2.由cos<,>==,可得向量与
17、的夹角约为35.26°.根据图形可知,二面角C-D1B1-B约为35.26°.[题后反思] 用两条异面直线的方向向量求其所成的角,应注意角的取值范围;用向量的方法求直线与平面所成的角,应注意sinθ=
18、cosφ
19、;用向量的方法求二面角,应注意根据图形确定两个法向量的夹角与二面角的平面角相等还是互补.变式 如图(1),在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=45°,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(变式(1)) (1)求异面直线AB与MD所成角的大小;(2)求平面OAB与平面OCD所成角的余弦值.[规范板书]
20、 解 作AP⊥CD于点P,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D,P,O(0,0,2),M(0,0,1).(变式(2)) (1)因为=(1,0,0),=,则cos<,>=-,故AB与MD所成的角为.(2)=,=.设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即取z=,则n=(0,4,).易得平面OAB的一个法向量为m=(0,1,0),所以cos=,故平面OAB与平面OCD所成角的余弦值为.【例2】 如图(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
21、AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.(例2(1))(1)求证:DC1⊥BC;(2)求二面角A1-BD-C1的大小.(见学生用书P69)[处理意见] 先引导学生对规则图形建立直角坐标系,再引导学生分别求出平面A1BD与平面C1BD的法向量,并求出这两个法向量的夹角,从而确定二面角的大小.[规范板书] 解 (1)在矩形AA1C1C中,由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=AA1,可得D+DC2=A1+A1D2+AD2+AC2=4AC2=C,所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.因为BC⊂平
22、面BCD,所以DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,DC1∩CC1=C1,则BC⊥平面ACC1A1,所以CA,CB
