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1、第9课时 空间的角的计算(1) 教学过程一、问题情境我们知道,空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角;斜线与平面所成的角是指斜线与它在平面内的射影所成的锐角;两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量的.这就是说,空间的角最终都可以通过转化,用两条相交直线所成的角来度量.而角的大小体现了线线、线面关系的相对方向性,能否转化为用直线的方向向量和平面的法向量来求空间的角呢?二、数学建构问题1 研究两条异面直线所成角的大小与这两条异面直线的方向向量的夹角关系.[3]解 两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或
2、互补.设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量a,b的夹角为φ,则有cosθ=
3、cosφ
4、=.问题2 研究斜线与平面所成角的大小与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系.[4]解 直线和平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得.设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量a与平面的法向量u的夹角为φ,则有sinθ=
5、cosφ
6、=.三、数学运用【例1】 (教材第107页例2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是BC的中点,点E1在D1C1上,且D1E1=D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.[5](见学
7、生用书P66)[处理建议] 引导学生分析直线E1F与平面D1AC所成的角,就是直线E1F与该平面的垂线所成角的余角.为此,要先确定平面D1AC的法向量,并复习求平面法向量的步骤.[规范板书] 解 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则B1(1,1,1),E1,F,(例1)所以=(1,1,1),=.设与所成的角为θ.因为·=1×+1×+1×(-1)=,
8、
9、·
10、
11、=×=,则cosθ==.因为是直线E1F的方向向量,是平面D1AC的法向量,所以E1F与平面D1AC所成的角是θ的余角,所以直线E1F与平面D1A
12、C所成角的正弦值为.[题后反思] (1)通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求直线和平面所成的角,要注意当直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时,直线与平面所成的角与这个夹角互余.为了避免错误,通常直接使用问题2中的公式.(2)把题设中的条件“F是BC的中点”改为“CF=CB”,你能得到什么结论?本例怎样用综合法求解?试对两种方法加以比较.变式 如图(1),已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧面与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N,P分别是CC1,BC,A1B1的中点.(1)求证:PN⊥AM;(2)若直线MB
13、与平面PMN所成的角为θ,求cosθ的值.(变式(1))[规范板书] 解 (1)建立如图(2)所示空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),P,M,N,所以=,=.(变式(2))因为·=0×0+1×+(-1)×=0,所以PN⊥AM.(2)=,=.设平面PMN的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则即令y1=2,得z1=1,x1=3,所以n1=(3,2,1).又=,所以sinθ===,故cosθ=.【例2】 如图(1),在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB
14、=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.(见学生用书P67)(例2(1))[处理建议] 本例没有三条直线两两垂直,所以应先引导学生建立适当的空间直角坐标系,再求出异面直线A1B与AO1的方向向量,最后应用公式求解.[规范板书] 解 建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),(例2(2))∴=(-,1,-),=(,-1,-).∴cos<,>===-.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.[题后反思] 两条异面直线所成角的范围为,但
15、两个方向向量的夹角的范围为[0,π],所以两条异面直线所成的角和它们方向向量的夹角相等或互补.四、课堂练习1.已知a,b分别是异面直线l1,l2的方向向量,且cos=-,则异面直线l1和l2所成角的大小为 45° . 2.已知直线l的方向向量a=(1,-1,1),平面α的法向量b=(2,-4,1),则直线l和平面α所成角的余弦值为 . 3.如图(1),在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=CF=1.(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.(第3题(
16、1))解 (1)以D为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(3,0,0),C1(0,3,3),D1(0,0,3),E(3,0,2),(第3题(2))所以=(3,0,-1),=(-3,3,3),所以cos<,>=
