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1、长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第九章未定权益的定价理论对于未定权益,我们已经不陌生了.在第4,5,7和8章中分别讨论过一些情形.本章中,我们将建立连续时间市场中的未定权益定价理论.§9.1欧式未定权益定价问题在第8章第4节中,我们出于引入市场(广义或者内蕴)完备性定义的需要,提到了欧式未定权益的可复制性.在这里,我们将专门讨论欧式未定权益的可复制性以及可定价性.为了避免叙述的繁琐和可能的喧宾夺主,假定市场是无磨擦的.我们将在[0,T]上的市场重写于下:(1.1)假定条件成立,对于初始财富及证券组合过程,财富
2、过程满足下述方程：(1.2)一、问题现在考虑上的欧式未定权益,即持有都到到期时刻能够获得收益的一个未定权益.我们的问题可以叙述如下:问题1.1寻找和,使,使得(1.3) 如果满足上述(1.3)的和存在,则称在上是可复制的,称是在上的一个复制策略,称为在时刻0的一个准价格.当可复制且准价格惟一时（这里不要求的惟一性）,称在上是可定价的,并称为在时刻0的一个价格. 易见,问题1.1等价于求解下述倒向随机微分方程：(1.4)此时,我们也称为未定权益的价格过程.由上面的定义可见,在上可复制的(欧式)未定权益似乎未必是在上可定价的.我们
3、回忆:在单时段市场情形,存在可复制的但不可定价的未定权益;而当市场成立单一价格定律时(特别的，当市场无套利时),可复制的未定权益必是可定价的.对于连续时间市场情形,我们也容易构造在上可复制的但不可定价的未定权益.事实上,对于比较极端的情形,(1.2)变成一个常微分方程.此时,我们很容易构造在上可复制的但不可定价的未定权益,对于,人们也可以造出这样的例子.我们把细节留给了读者. 我们注意到,问题1.1考虑的是上是欧式未定权益.类似地,对任何,我们可以考虑上的欧式未定权益.不过,对此情形,复制策略,而时刻的价格第28页共28页长沙
4、理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论应该是一个可测的随机变量。我们把相应于的问题1.1的提法以及有关概念的定义留给读者自选完成.我们知道,方程(1.2)的解满足下述的所谓半群性质:(1.5)其中和分别为在和上的限制.因此,当未定权益在上也是可复制的,并且是它的一个复制策略,是它在时刻的一个准价格.但是,仅凭上面的所述,我们似乎无法保证当未定权益在上可定价时,它是否在上也是可定价，因为此时尽管在时刻的价格是惟一的,但它在上的复制策略未必惟一,从而,时刻的准价格似乎就未必惟一了.不过,我们将会看到,在一定条件下,当未定权
5、益在上可定价时,它在上也是可定价的.二、欧式未定权益的鞅定价现在,我们假定并且(1.6)在条件(1.6)下,市场的风险市价存在,并有下述表达式:,(1.7)对任何的证券组合过程，定义(1.8)由于条件(1.6),映照是到其自身的同构，所以为了方便起见，我们也将称为证券组合过程,这样对应初始财富及，财富过程就满足下述方程：(1.9)我们有下述的基本结果。定理1.2假定条件和(1.6)成立,则任何欧式未定权益均在任何的上可定价,并且价格过程由下式给出;(1.10)其中为第八章(3.6)所定义的等价鞅测度.证明:由条件、(1.6)和第
6、八章定理4.3证明知.倒向随机微分方程对任何存在惟一的适应解.又上述倒向随机微分方程的解为第28页共28页长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论又由第八章(1.0.7)知,故,,所以,.▲上面的定理给出了在条件和(1.6)上任何欧式未定权益的可定价性。表达式(1.10)称作(现行框架下的)的未定权益的风险中性定价原则(比较第5章和第7章中的离散时间情形),上面证明定理1.2的方法称为倒向随机微分方程方法,也称鞅方法.我们不难注意到,上面定理1.2本质上仅仅给出了未定权益的可定价性,公式(1.10)其实不是太好用,因
7、为条件数学期望的计算并不容易,因此,定理1.2在使用时不太方便.下面,我们将探求未定权益的更容易计算的公式.为此,我们进一步假定(M2)成立(即市场的系数均是确定性的),并且未定权益具有形式,其中,为一个连续子函数,最典型的例子是,(1.16)和(1.17)它们分别对应于欧式看涨期权和欧式看跌期权。三、运用公式进行的欧式未定权益的定价方程-----Black-Scholes方程现在，我们来寻找形如欧式未定权益的定价公式各复制策略过程.由上面的定理1.2,在(M1)和(1.6)满足时,下述倒向随机微分方程存在惟一的适应解:(1.1
8、8)假定存在一个光滑的待定函数使得(1.19)则对(1.19)运用公式,由(1.1)可得(1.20)比较上面两端的扩散项系数(即的系数)(1.21)对于固定的,(1.21),是一个关于的齐次线性方程组.因此,由条件(1.6)可知，(1.22)第28页共28页长沙
