思科数学第5讲函数的单调性与最值

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1、第5讲　函数的单调性与最值　　基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数；②若f(x1)＞f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对

2、于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.则称M是f(x)的最大值．(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.则称M是f(x)的最小值．一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．

3、两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基

4、自测1．(2011·扬州中学冲刺)函数f(x)＝ln(x2－2x)的单调递增区间是________．解析　由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，又y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(2，＋∞)上单调递增．所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．答案　(2，＋∞)2．(2011·山东省青岛市模拟)下列四个函数：①y＝；②y＝；③y＝－；④y＝x，其在区间(0,1)上是减函数的是________．解析　y＝，y＝－，y＝x分别是[0，＋∞)，(－∞，1]，(－∞，＋∞)上的增函数，从而是(0,1)上的增函数，y＝是(0

5、,1)上的减函数．答案　②3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是________．解析　由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即∴0＜x＜1或－1＜x＜0.答案　(－1,0)∪(0,1)4．(2011·镇江市调研)函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域为________．解析　因为2x与log2x都是[1,2]上的增函数，所以f(x)＝2x＋log2x是[1,2]上的增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(2)，即2≤f(x)≤5.答案　[2,5]5．(2011·

6、济南外国语学校检测)函数y＝的单调递增区间是________．解析　x≠0时，由y＝，x2－3x＋2≠0，且x＋在(－，0)和(0，)上递减，得f(x)增区间为(－，1)和(1，)．答案　(－，1)和(1，)　　考向一　函数单调性的判断【例1】►判断函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．[审题视点]可采用定义法或导数法判断．解　法一　设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).当≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0，＜0，有f(x1)－f(x2)

7、＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上为减函数；当x1＞x2≥时，x1－x2＞0，＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．法二　f′(x)＝1－，令f′(x)＞0则1－＞0，∴x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，则1－＜0，∴－＜x＜，∵x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)在(0，)上为减函数；在(，＋∞)上为增函数，

8、也称为f(x)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解；(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．【训练1】试讨论函数f(x)＝(a＞0)的单调性．解　函数f(x)的定义域为(－∞，1