函数的单调性与最值（讲）

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1、第二章函数与基本初等函数Ⅰ第3节函数的单调性与最值函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.函数的最值1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.对点练习函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间

2、上的最大值为________．【答案】3考点1单调性的判定和证明1.给定函数①，②，③，④.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()【答案】BA．①②B．②③C．③④D．①④【领悟技法】1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反；（3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）.2.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减.4.定义法

3、：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.【变式一】下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()【答案】AA.y＝－xB.y＝x2－xC.y＝lnx－xD.y＝ex－x【变式二】定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________.【答案】或1.的递增区间是（）A.B.C.D.2.函数的单调递增区是（）A.B.C.和D.【答案】D【领悟技法】1.基本初等函数的单调区间：函数图象参数范围单调区间或单调

4、性一次函数单调递增区间单调递减区间二次函数单调递减区间为；单调递增区间为.单调递增区间为；单调递减区间为.反比例函数单调递减区间为和单调递增区间为和指数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为对数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为幂函数在上递减没有单调性在上递增正弦函数单调递增区间单调递减区间余弦函数单调递减区间；单调递增区间正切函数单调递增区间2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，

5、则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【触类旁通】函数的单调递增区间为.【答案】和.考点3利用单调性确定参数取值范围1.已知函数，若，则实数的取值范围是．【答案】【答案】【领悟技法】1.解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数，则；若函数为减函数，则.2.在比较、、、的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将、、、通过等值变形将自变量置于

6、同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.【领悟技法】函数最值的求解方法：1.单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3.分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.4.导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.【触类旁通】1.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是【答案】DA．B．C．D．