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1、信号处理中的奇异值分解学生姓名：学号：专业：指导老师：学院：完成日期：7目录摘要2第一章奇异值分解的概念3第二章奇异值分解的步骤：4第三章信号处理中奇异值分解的应用4第四章结语6参考文献：77摘要奇异值分解(Singularvaluedecomposition，SVD)是一种正交变换，对于任一个行或列线性相关的矩阵，通过对其左、右分别相乘一个正交矩阵进行变换，可以将原矩阵转化为一个对角阵，而得到的奇异值个数又反映了原矩阵中独立行(列)矢量的个数。奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理的很多领域有重要应
2、用。本文主要介绍的奇异分解的基本理论以及在信号处理上的应用。关键字：奇异值分解SVD信号处理7正文第一章奇异值分解的概念奇异值分解(Singularvaluedecomposition，SVD)是一种正交变换，对于任一个行或列线性相关的矩阵，通过对其左、右分别相乘一个正交矩阵进行变换，可以将原矩阵转化为一个对角阵，而得到的奇异值个数又反映了原矩阵中独立行(列)矢量的个数。奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。首先，设A为m*n阶矩阵，nsd特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记
3、为(A)。则HA)^(1/2)。奇异值分解：设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得:A=U*S*V’其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0(i=1,…,r)，r=rank(A)。其推论为：设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V，使得A=U*S*V’其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0(i=1,…,r)，r=rank(A)。我们可以看到奇异值分解非常有用，对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A=U*S*V’7。U和V中
4、分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。AA'的正交单位特征向量组成U，特征值组成S'S，A'A的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成SS'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。其次奇异值分解提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同，一旦秩r确定，那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基。关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时:S对角元的平方恰为A'A特征值的说明.(对复矩阵类似可得)第二章奇异值分解的步骤：1、求AHA或AAH2、求AHA或AAH的特征值及特征向量x1,
5、x2,...xr，r个特征值组成3、U=(x1,x2,...xr)地4、V1=AU1Δr-1，取V2与其正交，则V=(V1，V2)奇异值的计算是一个难题，是一个O(N^3)的算法。在单机的情况下当然是没问题的，matlab在一秒钟内就可以算出1000*1000的矩阵的所有奇异值，但是当矩阵的规模增长的时候，计算的复杂度呈3次方增长，就需要并行计算参与了。其实SVD还是可以用并行的方式去实现的，在解大规模的矩阵的时候，一般使用迭代的方法，当矩阵的规模很大（比如说上亿）的时候，迭代的次数也可能会上亿次。第三章信号处理中
6、奇异值分解的应用此方法近年来在数据降维和压缩[1,2],滤波器设网络节点估计[3]、小波变换结果的后续处理[4,5]等很多领域都获得了重要的应用。在滤波器设计方面，VOZALIS等[6]7将SVD用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和数学形态学相结合，对心电信号(Electrocardiogram，ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。在另一些研究中SV
7、D则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等[7]利用SVD从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。SVD在神经网络中也获得了应用，如TEOH等[8]利用SVD实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析，进而决定了隐层神经元节点的数目。SVD的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用[4,5]，如XIE等[4]利用SVD对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理，以获得代表肢体运动模式的最优特征，进而对肌电信号进行分类，用于对假肢的控制。小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间
8、上进行分解，获得相应的近似和细节信号，从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征[9]，这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。基于这种多分辨分析思想的思考，赵学智在SVD中提出了一种矩阵二分递推构造方法，根据该方法得到的SVD分解结果将分属于不同层次的空间，而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的，实现了利用SVD以不
