1.1任意角与弧度制

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1、1.1任意角和弧度制1.1.1任意角第一章三角函数高中新课程数学必修④1知识探究（一）：角的概念的推广思考1：对于角的图形特点有如下两种认识：①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图2）.图2图12思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？AOBα始边终边顶点3思考3：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果

2、一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.4⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑴在不引起混淆的情况下，“角”或“∠”可以简化成“”；⑵如果是零角=0°,零角的终边与始边重合；注意5画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.βB2γAB1αO

3、思考4：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小.对于α＝210°，＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？6思考5：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？－120°，450°.129637思考7：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？k·360°（k∈Z）思考6：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如50°＋80°=130°，50

4、°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.8知识探究（二）：象限角思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？xoy9思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－

5、450°分别是第几象限的角？－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo10思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.11思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？xyo12练习1、下列命题正确的是（）A、终边相同的角一定相等B、第一象限角都是锐角C、锐角都是第一象限角D

6、、小于90°的角都是锐角2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，则A∩B=（）A、｛锐角｝B、｛小于90°的角｝C、｛第一象限角｝D、以上都不对133、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限4、若是第二象限的角，则1800-是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限145、已知角α的终边在下图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈30°xy15知识探究（三）：终边相同的角思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？

7、这些角有什么内在联系？－32°－392°xyo328°16思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？S={β

8、β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？17（3）下列角的终边相同的是（　　）．A．与与与与B．C．D．18思考5：终边在x

9、轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z.思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？终边在x轴上：S={α

10、α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：S={α

11、α=90°＋k·180°，k∈Z}.19思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？第一象限：S={α

12、k·360°