数学实验——线性规划

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1、数学实验报告实验5线性规划实验5线性规划分1黄浩2011011743一、实验目的1.掌握用MATLAB工具箱求解线性规划的方法2.练习建立实际问题的线性规划模型二、实验内容1.《数学实验》第二版（问题6）问题叙述：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有如下限制：(1).政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；(2).所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高

2、)；(3).所购证券的平均到期年限不超过5年证券名称证券种类信用等级到期年限/年到期税前收益/%A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5I.若该经理有1000万元资金，该如何投资？II.如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？III.在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？模型转换及实验过程：8数学实验报告实验5线性规划I.设经理对于上述五种证券A、B、C、D、E的投资

3、额分别为：x1、x2、x3、x4、x5(万元)，全部到期后的总收益为z万元。由题目中的已知条件，可以列出约束条件为：x2+x3+x4≥4002x1+2x2+x3+x4+5x5≤1.4(x1+x2+x3+x4+x5)9x1+15x2+4x3+3x4+2x5≤5x1+x2+x3+x4+x5x1+x2+x3+x4+x5≤1000而决策变量x=(x1,x2,x3,x4,x5)T的上下界约束为：xi∈[0,1000]目标函数z=0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5将上述条件转变为matlab的

4、要求形式：min-z=-0.043x1-0.027x2-0.025x3-0.022x4-0.045x5s.t.-x2-x3-x4≤-4000.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5≤04x1+10x2-x3-2x4-3x5≤0x1+x2+x3+x4+x5≤1000,0≤xi≤1000使用matlab解上述的线性规划问题（程序见四.1），并整理成表格：名称证券A证券B证券C证券D证券E总收益金额（万元）218.180736.36045.4529.836得出结论：当经理对A、B、C、D、E五种证券分别投资218.

5、18、0、736.36、0、45.45万元时，在全部收回时可得到29.836万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。讨论：尝试输出该约束条件下的拉格朗日乘子：λ=0,0.00618,0.00236,0.02984T该乘子表示，第一个约束条件对目标函数的取值不起作用，而剩余三个约8数学实验报告实验5线性规划束条件取严格等号的时候，目标函数达到最优解。下面验证之：由解得的x值，代入四个约束条件中，得：-x2-x3-x4=-736.36≪-4000.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5=0.016≈04

6、x1+10x2-x3-2x4-3x5=0.01≈0x1+x2+x3+x4+x5=999.99≈1000因为决策变量x的取值经过了四舍五入，因而后三个约束条件最终是“约等于”，但已经十分接近，若使用更高精度的x，则该三式是可以严格等于的。以上便从实验角度证明了拉格朗日乘子的其中一条数学意义——非零分量对应于起作用的约束，且这些约束取严格等于的时候，目标函数达到最优解。II.若能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，那么还可以将这部分资金进行证券投资，设借款金额为x6，则线性规划条件改为：min-100z=-4.3x1-2

7、.7x2-2.5x3-2.2x4-4.5x5+2.75x6s.t.-x2-x3-x4≤-4000.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5≤04x1+10x2-x3-2x4-3x5≤0x1+x2+x3+x4+x5-x6≤11000≤xi≤1100,i=1,2,3,4,50≤x6≤100使用matlab求解（程序见四.2）并整理成表格：名称证券A证券B证券C证券D证券E借款额总收益金额（万元）240081005010030.07得出结论：当经理在以2.75%的利率借款100万元后，且对A、B、C、D、E五种证券分

8、别投资240、0、810、0、50万元时，在全部收回投资时可得到30.07万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。讨论：本小题中借款的利率2.75%设为了与借款时间无关的量，即无论借多长时8数学实验报告实验5线性规划间，最终只需多缴纳0.0275倍借款额的利息，这显然是与实际不符