线性方程组的数值解法与比较论文

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1、目录1引言12线性方程组的相关概念13讨论线性方程组的数值解法23.1高斯消元法解线性方程组23.1.1高斯顺序消元法23.1.2高斯列主元素消元法63.2矩阵三角分解法解线性方程组93.2.1直接三角分解法93.2.2追赶法124总结16参考文献17致谢18线性方程组的数值解法与比较摘要:本文给出了线性方程组数值解法的几种直接求解方法,探讨这些方法的主要思想,具体解法以及它们各自的特点,针对几种解法对于不同条件下的线性方程组的求解,进行了一定的分析,并对其加以比较,以此来促进对线性方程组数值解法的理解.关键词:线性方程组;高斯消元法;直接三角分法;追赶法Then

2、umericalsolutionandcomparedoflinearequationsAbstract:Thispapergivesseveraldirectsolvingmethodsoflinearequationsnume-rically,probingintothemainideas,thespecificmethodandtheirrespectiveconclu-sions.Accordingtoseveralsolutionstodifferentconditionsoflinearequationsofthesolution,thispapera

3、nalyzesandcomparesinordertopromotetheunderstandingoflinearequationsnumerically.Keyword:linearequations;Gaussianelimination;directtrianglepointsmethod;Chase-aftermethod1引言线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组.在实际生活中,存在大量的解线性方程组的问题,很多数值方法到最后都会涉及到线性方程组的求解问题.它的数值解法不仅在实际问题中起到重要的作用,而且在计算数学中更是占有重要的地位.针对我们所

4、学习的现有的中小型线性方程组,直接法就可以直接简明的对其进行求解.我们所运用的求解线性方程组的直接法,通常包括高斯消元法中的高斯顺序消元法与高斯列主消元法,以及矩阵三角分解法中的直接三角分解法与追赶法.本文通过探讨这几种求解方法的思想,解法与结论,对其加以分析并进行了相应的比较.2线性方程组的相关概念一线性方程组的一般形式含个方程,个未知量的线性方程组的一般形式为:其中为未知量,和为常数;称为型线性方程组如果,则称方程组为齐次线性方程组如果存在,则称方程组为非齐次线性方程组例:型线性方程组的一般形式为:其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个型线性方程组中两直线在

5、平面上的位置有下列三种情况:(1)两直线相交于一点,则交点就是方程组的唯一解；　(2)平行,则该方程组无解；(3)重合,则直线上任何一个点都是方程组的解.例:型齐次线性方程组的一般形式为:其中每一个方程都表示一个以向量为法向量,过点18的平面,其解是一个与平行.,均正交的向量.(1)若,,不共面,则方程组只有零解；(2)若,,共面但不共线,则垂直于,的向量均是解,这些解彼此平行；(3)若,,共线,则以为法向量的平面是所有向量,都是解.即解向量组成一个平面.　定义1.1:设有型线性方程组(I)和型线性方程组(II),如果(I)和(II)的解向量集合相等,则称(I)

6、和(II)为等价的线性方程组.齐次线性方程组可以看成是非齐次线性方程组常数列均0的情形,因而对于非齐次线性方程适用的结论对齐次方程也是适用的.3讨论线性方程组的数值解法设有n元线性方程组或其中设系行列式,则方程组有唯一解.直接法解线性方程组:如果不计运算过程的舍入误差,经过有限次运算后可得到方程组的精确解的方法.3.1高斯消元法解线性方程组3.1.1高斯顺序消元法写出方程组的增广矩阵,并记,若,则施行第一次消元:对计算18原增广矩阵被变换成:将这一过程继续下去........第步的计算过程为若,则施行第一次消元:对计算原增广矩阵被变换成若所有的,则经过n-1次消元

7、得到:以为增广矩阵的上三角线性方程组与原方程组是同解方程组.回代过程就是由方程组的最后一个方程解出,然后通过逐步回代,依次求.18具体算法为例1用顺序Gauss消去法解以下线性方程组解:用增广矩阵表示法求解:消元过程回代过程同解方程组为18程序为:#include#include#defineN4/*N为方程组系数矩阵的阶数*/intGauss(floata[N][N],floatb[N]){inti,j,k,flag=1;floatt;for(i=0;i

8、}else