数学竞赛中的代数问题3

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1、816449362516941看过之后记住2-3数学竞赛中的代数问题（再续）五．递推数列1．基本内容（2个定义、两条定理）（1）递推数列定义1对于正整数由递推关系所确定的数列称为递推数列．（2）递归数列、特征方程定义2若数列从第项以后任一项都是其前项的线性组合，，①其中为正整数，为常数，，则称为阶线性递归数列，称①为的递归方程，与递归方程相对应的代数方程②称为阶线性递归数列的特征方程．例1等差数列：，是2阶线性递归数列；等比数列：，是1阶线性递归数列.调和数列：，不是线性递归数列，但是递推数列.（3）递归方程的求解（定理35，定理36）定理1若特征方程②有个相异根，则对应递归

2、方程①所确定的数列的通项公式为.其中是下列方程组的唯一解：定理2若特征方程②有重根，则对应递归方①所确定的数列的通项公式为：其中是下列方程组的唯一解：2．数学竞赛中递推数列的主要类型（1）求数值（2）求通项（3）论证数列的性质（4）数列应用题（如p．133,2-55）例2（2-55,p．133）运动会连续开了天（），一共发了枚奖章．第一天发1枚以及剩下（）枚的，第二天发2枚以及发后剩下的，以后每天均按此规律发奖章．在最后一天即第天发了剩下的枚奖章，问运动会开了多少天，一共发了多少枚奖章？讲解“运动会连续开了天（），一共发了枚奖章”是题目为了叙述方便给我们设出的未知数，现在的问

3、题是要解出在两个未知数．所以要去找联系两个未知数的等量关系．题目给出的、反映，之间联系的最本质关系是发奖方式：第天发枚以及发后剩下的（昨天剩下、及发枚后剩下），这又涉及今天与昨天奖章的关系，所以，我们还要设一个体现前后关系的未知数：运动会开了天后还剩下枚奖章，它与中小学时设的常量未知数的不同之处在于，是一个变量（关于的函数），因此，题目最本质的等量关系是反映的等量关系（递推方程）．首先有．又，第天发了枚奖章，还剩下，得等量关系．①下面是解这个递推方程，基本思路是化归为等比数列来处理．先视为常量，找它的迭代不动点，（）得，把①化为了．②但为变量，且左、右两边要保持下标一致才能成

4、为等比数列，所以继续将②，③这又变成①的形式，再求迭代不动点．于是，③或说①可变为．④这表明，是一个等比数列，有，由等比数列的通项公式得．得．⑤这就是，所满足的等量关系或方程（不定方程），因为，为整数，所以为整数，但，只有整除，由于，（）得=0，代入⑤得．说明1：可以算出每天发的奖章第1天：．第2天：．第3天：．第4天：．第5天：．第6天：．其实是每天6枚.说明2古典名题背景：例1-2一位老人把积蓄的m枚金币分给n个儿女（m,n是大于1的正整数），首先，给老大1枚金币和剩下；然后，从余下枚的金币中给老二分2枚金币和剩下；依此类推，第个孩子就分枚金币和剩下的,直到最小的孩子分到

5、最后剩下的枚金币．问老人分给每个孩子的金币是否一样多？说明3既有运算又有推理，是运算与论证的综合，还与数论交叉.例3（斐波那契兔子问题）兔子出生以后两个月就能生小兔子，每次不多不少恰好生一对（一雌一雄）．假如养了初生的小兔一对，试问：一年以后共可有多少对兔子（如果生下的小兔都不死的话）．解更一般地，设第个月有对兔子，因为第1个月只有原有的1对小兔子，故；到第2个月小兔子长大但还不会生育，仍是一对兔子，故．对，易知第个月的兔子数可由两部分兔子组成，一部分是上一个月转来的兔子数，另一部分是当月新出生的小兔子，它的数量是前一个月（上2个月）的兔子数，故有（）①其中，．这个式子叫做斐

6、波那契递推方程．它反映了一个状态与前面两个状态，的联系．由此可以求得：，，，，，，即年后有兔子144对．通过递推关系①可以解出．由①有（递推方程）即变形并递推（也可以直接用等比数列的通项公式）同理消去得．②另解，，.说明2009年全国高考数学陕西卷（理科）22题（12分）：已知数列满足，．猜想数列的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：．裴波那契递推方程，决定了数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……现作变形，并令则有，，这就是本题的数列：其不动点为方程的正根，正是著名的黄金分割，也是极限．可见，本题有裴波那契数列和黄金分割的背景．由于裴波那

7、契数列有很多很好的性质，所以本题亦有很多很好的性质可供探讨．例4设为试证数列的各项均为整数．证明由知，数列单调递增．又由已知有平方得这表明是二次方程两个根，由韦达定理得又，可由数学归纳法推得数列的各项均为整数．例5（例2-78）已知数列满足，且，（），求数列得通项解由已知有，，且相减后移项，两边减去，变形取得2-4数学竞赛中的数论问题一.数学竞赛中数论问题的基本内容1.数论是研究自然数的一个数学分支.2.主要有8个定义、15条定理.定义1（带余除法）给定整数如果有整数满足，则和分别称为除以的商和余数。特