正四棱台体积公式

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1、一则基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※朱哲张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院321004）对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。1教学案例：正四棱台体积公式1.1提出问题师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a，上底面边长为b，高为h，那么它的体积该如何表

2、示呢？今天我们就来研究这个问题。生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为，则大正四棱锥小正四棱锥=……）。我做不下去了。1.2类比、猜想、实验师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。生2：我想，因为梯形面积公式为。生3：我觉得应该是，因为正四棱锥体积公式中有系数，且当时，,即为正四棱锥体积公式。师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱

3、台容器，上底边长米，下底边长米，高米，里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为立方米，由生3的公式得立方米。我们再把沙子倒入底面边长为米的柱形容器，量一下，高为多少？约为米，体积约为立方米。看来上面两个公式都不是很准确。———————※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。生4：梯形面积公式中系数是，是因为括号内只有两项。那么，如果正四棱台体积公式系数取，则括号内应有三项，除了、我想还应有，也即，计算。这与我们的实验结果一致。另外，当时，是正四棱锥的体积公式；当时，是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正

4、确的。1.3推导公式师：大家同意他的观点吗？（同意！）那好，下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法来推导呢？刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的，那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢？我们不妨试试看，我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。生5：(如图1)平行四边形=。（图1）（图2）生6：（如图2）设小三角形高为，大三角形高为，因为这两个三角形相似，所以，即。。生7：（如图3）。（图3）生8：（如图4）。（图4）（图5）师：有没有其他方法？还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的？生9：（如图5）三角形=。师：接下来我们就利

5、用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。第一组用生5的方法，第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。如果你觉得这种方法做不出或者做出来了，请再用生9的方法推导。（学生独立思考、互相讨论来解决问题，教师适当介入，给予提示指导。当第四小组完成其推导后，教师再给他们一道思考题：有这样一个四棱台，它的两个底面是长方形。上底面边长分别为，下底面边长分别为，高，求其体积。）1.4展示成果第一组（生10）：我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。第二组（生1）：刚才我做不下去，现在我会了。（继续。第三组（生11）：我们将正四棱台分成五个棱锥A、B、C、D、E

6、：（如图6）（A）（B）（C）（D）（E）（图6）其中，。对于锥体C（如图7），我们取AC中点O，连结B`O、D`O,容易看出AC⊥面B`OD`。取B`D`中点O`，连结OO`，则OO`⊥B`D`。所以，三角形B`OD`B`D`hAC=。由此得。（图7）（图8）第四小组（生12）：我们将正四棱台切割成九部分（如图8）：(1)一个长方体E，其底面是边长为的正方形，高为，体积为.(2)四个棱锥A、C、G、I，可以拼成一个大的四棱锥J，起底面是边长为的正方形，高为，体积为。(3)四个直角三棱柱B、D、F、H，可以拼成两个长、宽、高分别为、、的长方体K和L，体积均为。所以，（

7、如图9），整理得。（E）(J)(K)(L)（图9）生13：同样方法可以求出思考题中四棱台体积。当时，。生14：利用类似生9的方法来推导比较繁杂，我用图示的方法来说明。为了使大家看得清楚，我把它先分成四等分，且选择其中一块（如图10）。把这一块分成三部分，这三部分又可以拼成一个不规则图形，这个图形的体积可以通过补形法求得。（图10）。1.5教师总结上面几位同学向大家展示了他们的研究成果，非常出色。同学们可能不知道，这个公式在距今四千年前就已经被古埃及人所掌握。成书时期约在公元前1850年的一册古埃及数学课本中就记载了一道计算正四棱台体积的问题。数学史家