棱台体体积公式推导.doc

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1、正棱台体公式推导（1）将正四棱台切割成九部分（如下图）（鸟瞰图）（立体切面图）E在棱台体中间位置，是一个方形体；B、D、H、F是四个三棱柱，分别位于在方形体的四周位置；A、C、G、I是四个四棱锥，分别位于棱台体的四个角的位置。（2）用字母表示图形部位顶面棱长为，底面棱长为a,棱台体高为h。（3）体积的计算(1)一个方形体E，其底面是边长为、高为的方形体，体积为；（图V1）(2)四个四棱锥A、C、G、I，用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为、高为的方形体。（四棱锥）（三个四棱锥拼合图形）（多出一个四

2、棱锥）方形体的体积为（）2h。其中一个四棱锥的体积就是（）2h。四个四棱锥的体积和则为（）2h。化简可得：（）2h(3)四个直角三棱柱B、D、F、H，可以拼成两个长、宽、高分别为、、的长方体，体积和为b(a-b)h。（三棱柱）（拼合图形）（4）四棱台的体积四棱台的体积等于上述三项（九个部分）之和V=+（）2h+b(a-b)h解：V=[b2+（）2+b(a-b)]h由此得出：正棱台体的体积等于截面积的和乘以高。截面积组成：方形体的截面积：顶面的边长乘以边长；字母表示b2四个三棱柱截面积和：字母表示b(a-

3、b)一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。四个四棱锥截面积和：字母表示（）2一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。化简可得