浅谈解析几何中的定比分点

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1、浅谈解析几何中的定比分点解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的计算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简化较多的计算。定比分点用法较多，大体分为：直接与间接。直接用法有三种：1、定义直接用：（采用向量来解决）例如在OAB中，，OD是AB边上的高，若，则实数等于（）ABCD本题直接采用向量来解答：2、直接用公式；3、直接用向量相等。直接用

2、定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比较多，大致有以下几种：一、将线段比转化为定比分点例如：已知,，且，求适合条件的点P坐标。分析：这你种题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。二、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。例如：设椭圆E：的两个焦点是与（6），且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，（1）求实数m的取值范围；（2）设是相应焦点的准线，直线PF2与相交于点Q，若，求直线PF2方程。解：（1）；（2）设点P在椭圆

3、上得……㈠因为直线PF1与直线PF2垂直所以（）……㈡由㈠㈡得由知（1）时无解。（2）时，得m=2。此时所以直线PF2方程为。本题把转化为相似比来解决，从而使问题化难为易。三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化，解题思路明确。例如（2006南通九校联考）已知椭圆E的方程为（），双曲线H：的两条渐近线为，，过椭圆E的右焦点F的直线，又与交于点P,设与椭圆E的两个交点由上至下依次为A，B。（1）当，与夹角为60o,且时，求椭圆E的方程。（2）求的最大值。6看见这道题很容易想到用第

4、二定义去做，结果发现比值依赖的范围，而的范围需要解方程组，从而使问题复杂化，若使用定比分点则问题变得简洁。解：（1）略。（2）不妨设：：即P()设A分的比为，则A()代入，并整理而所以即的最大值为。四、定比分点与整体代换思想联系在一起。例如双曲线H:的离心率e=2，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若A、B分别为，上的动点，且，求线段AB中点M的轨迹方程。略解：（1）渐近线方程：。（2）设，A，B中点M所以中点M的轨迹方程。6五、直接求定比分点中的的值像这种求的题，我们可以直接通过定比分点定义计算得

5、到，也可以用几何办法解决。例如（2004.5月黄冈市、荆州市联考）已知动点P到双曲线的两个焦点F1,F2的距离之和为定值2a（），且的最小值为。（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知点D（0，3），M、N在动点P的轨迹上，且，求实数的取值范围。解：（1）点P的轨迹方程为（2）解法一：设，，所以而所以。上面的解法，属于纯解析几何解法，其实，我们可以用几何办法很快解决。如图：图一，是最大的时候，图二是最小的时候，六、根据定比分点中的范围求最值或值域。例如已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0）、A（3

6、，0）、B（0，3），点P在线段6AB上，且，则的最大值为（）A3B6C9D12解：设，，所以答案选C。这种题显然是利用的取值范围来求值简单。七、比而不求，转化为向量平行来解决。我们看这样一道题目，看似定比分点，仔细审题，这道题其实可以比而不求，转化为向量平行来解决。例如已知椭圆的弦PB过其中心O，点A是椭圆的右顶点，满足。（1）求点P坐标；（2）若椭圆上有两点C、D（异于A、B）且，问是否存在实数，使得？说明理由这道题，很容易想到用定比分点把求出来，从而证明存在，仔细一看，题目并没有要我们求，因而

7、我们可以智取，只需求证与共线即可。解：（1）点P坐标（1，1）。（2）假设存在，使得，由知，的平分线垂直于OA，则，。不妨设点P坐标（1，1），设直线PC为y-1=k(x-1)联立方程组解得C又直线PD为y-1=-k(x-1)，易得D为6所以，而所以CD∥AB所以存在，使得当然，与定比分点的题型解法，多种多样，这里只简单提几种情况，有待进一步发掘和学习。参考资料1、《试吧大考卷》辽宁大学出版社2、《2006年全国各省市高考试卷汇编及详解》中国少年儿童出版社3、《全国著名重点中学高考调研模拟试卷（数学

8、）》吉林文史出版社6