铺砌问题——任勇教学设计

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1、铺砌问题任勇丨《星教师》2016中学数学专辑作者1．教学目的通过对二维铺砌问题（亦称地板革上的数学问题、花砖铺设问题或镶嵌图案问题）的深入探索，引导学生初步掌握数学问题的研究方法，学会将数学问题特殊化和一般化，学会提出和探索新的数学问题。2．创新说明（１）创新训练１：引导学生通过活动，探索一种原始砌块的多种铺砌法；（２）创新训练２：引导学生通过活动，探索多种原始砌块的各种铺砌法；（３）创新训练３：学会用数学方法，研究新的数学现实问题；（４）创新训练４：从“直砌块”到“曲砌块”的创新探索；（５）创新训练５：由“二维铺砌

2、”类比研究“三维铺砌”；（６）创新训练６：铺砌的“艺术化”探索、构建。3．探索点的处理意见(１)按类型由浅入深、由易到难、由简到繁、由特殊到一般深化探索；(２)下一个探索点尽量由学生提出，每个探索点尽量由学生先给出实例，师生共同探索、归纳；(３)在许多探索点处均可“留有空白”，留给学生继续探索；(４)在探索中适时地有机地恰如其分地渗透探索方法。4．教学过程引言：随着人们生活水平的提高，许多人喜欢用各种装饰用的花砖来铺地贴墙，这在数学里也是一门学问，叫做平面花砖铺设问题，也叫做镶嵌图案问题。即采用单一闭合图形拼合在一起

3、来覆盖一个平面，而图形间没有空隙，也没有重叠。换言之，重叠或空隙部分面积为０。什么样的图形能够满足这样的条件呢？这个问题我们已布置同学事先去探索了，要求同学们去设计图案，现在请各组（4人一组，共12组）代表展示你们的图案。（让学生展示图案）怎么来研究这些图案呢？我想，我们可以先从简单的问题入手，先看能否铺砌，再看有几种铺砌方案。不少同学的图案是三角形、四边形和正多边形的，我们就先来研究这几种情况。探索1：以三角形为基础的图案展铺三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特

4、点。由于三角形的三个内角和为180°，所以要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角。因此，若把三角形的三个内角集中在一起，并进行轴对称变换或中心对称变换的话，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面。变换的方法见图１。中心对称轴对称轴对称轴对称图1在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折。如果把三角形纸片按正、反两面涂上颜色，那么通过对称变换，正、反面就会明显地反映出来了。用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图２。

5、图2探索２：以四边形为基础的图案展铺由于四边形各内角和为360°，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案。图3中的（１）、（２）、（３）、（４）分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案。图3探索３：以正多边形为基础的图案展铺用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的角的和应是360°。但是这个条件只是必要条件而不充分。例如，正五边形的一个内角是（５－２）×180°÷５＝108°，正十边形的一个内角为（１０－２）×180°÷１０＝144°。两个正五边形的内角和一个正十边

6、形的内角之和为：２×108°＋144°＝360°，但是并不能用来展铺成平面图案。如果用同种的正ｎ边形来展铺平面图案，在一个顶点周围用了ｍ个正ｎ边形的角。由于这些角的和应为360°，所以以下等式成立：即，即ｍ×（２－）＝４。因为ｍ、ｎ是正整数，并且ｍ＞２，ｎ＞２，所以ｍ－２，ｎ－２也都必定是正整数。当ｎ－２＝１，ｍ－２＝４时，则ｎ＝３，ｍ＝６；当ｎ－２＝２，ｍ－２＝４时，则ｎ＝４，ｍ＝４；当ｎ－２＝４，ｍ－２＝１时，则ｎ＝６，ｍ＝３。这就证明了：只用一种正多边形来展铺平面图案，存在三种情况：①由６个正三角形拼展，我们用

7、符号（３，３，３，３，３，３）来表示（见图4-1）。②由４个正方形来拼展，我们用符号（４，４，４，４）来表示（见图4-2）。③由３个正六边形来拼展，我们用符号（６，６，６）来表示（见图4-3）。图4-1图4-2图4-4如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么应有以下五种情况：（３，３，３，４，４）、（３，３，３，３，６）、（３，３，６，６）、（３，１２，１２）以及（４，８，８）。这五种情况的图形见图4-4至图4-9。图4-4图4-5图4-6图4-7图4-8图4-9图4-10图4-11用三种正多边形拼展平面图案，就比较难

8、考虑了，例如有：（３，４，４，６）及（４，６，１２）。见图4-10至图4-11。用三种以上的正多边形拼展平面图案，就更复杂了，但也更有趣。对此有兴趣的同学，可以继续探索，构思出几个图案来。下面我们先给出２个图案。图5说明：正三角形中的数字表示边长，正、负号表示三角形正放和倒放。探索４：以不规则凸多边形为基础的图案展铺事实上，任何不规则的三角形和