分类讨论思想在高中数学中的运用

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1、2012--2013年度课程论文写作论文名称：分类讨论思想在高中数学中的运用专业：数学与应用数学作者姓名：罗小露班级：11级1班学号：20112201044联系电话（长短号）：15603061633QQ：1025748775分类讨论思想在高中数学中的运用罗小露数学科学学院20112201044【摘要】本文将对高中数学常用的数学思想之一——分类讨论思想进行探究，介绍了分类讨论思想在高中数学中的常见应用以及其局限性。【关键字】应用参数定义公式定理局限性一、前言高中数学常用的数学思想包括数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想以及转化（化归）思想，

2、在此主要要探讨研究的是分类讨论思想。何为分类讨论思想？在解决数学问题时，有时候会出现多种情况，需要将情况分类、求解，然后再综合得解，这运用的就是分类讨论思想。分类讨论是解决问题的重要策略之一，不知不觉我们常会用到分类讨论。其实，从刚接触数学开始，分类讨论这一思想我们就开始慢慢形成，简单至对多个计算结果检验是否符合题意也包含了分类讨论思想。二、分类讨论思想的常见应用1.应用于含有参数的问题参数可能存在于几乎所有的数学问题中（集合问题，函数问题，三角函数问题，向量问题，数列问题，不等式问题，立体几何问题，平面解析几何问题，统计问题，概率问题等）。一

3、般地，参数值的不确定性，使得问题会出现多种情况，从而需要用到分类讨论。这种分类讨论题型可以称为含参型。在此以集合问题、函数问题以及平面解析几何问题进行分析：【例一】已知集合A={x

4、a+1≤x≤2a-1},集合B={x

5、--2a-1≤2解得：-

6、盾，不成立综合得：a的取值范围为：a<2注意：这道例题除了在A是否为空集分类讨论，还在a+1>-这一不等式是否可取端点值进行了分类，方法是将端点值代入集合A中，检验是否符合题意：A包含于B。【例二】已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为Ｆ，Ａ是抛物线上横坐标为４，且位于x轴上方的点，Ａ到抛物线准线的距离等于５，过Ａ作ＡＢ垂直于y轴，垂足为Ｂ，ＯＢ的中点为Ｍ.（１）求抛物线的方程；（２）过Ｍ作ＭＮ⊥ＦＡ，垂足为Ｎ，求点Ｎ的坐标；（３）以Ｍ为圆心，ＭＢ为半径作圆Ｍ，当Ｋ（m，0）是x轴上的一动点时，讨论直线ＡＫ与圆Ｍ的位置关系.分析：要用到分类讨

7、论的是第（3）小题，涉及到直线，因为参数m是否等于4，决定了直线斜率是否存在，从而使得直线方程表示不同。而在后面参数m的值又影响了判直线与圆M的关系的判断，所以需要再分类讨论。 解：（１）易得抛物线方程y2=4x．    （２）不难求得Ｎ（）.     （３）圆Ｍ的圆心为点（０，２），半径为２，Ａ（４，４）．①当m=4时，lＡＫ:x＝４，直线ＡＫ与圆Ｍ相离；②当m≠４时，lＡＫ：y＝（x-m），即4x-（4-m）y-4m=0，圆心Ｍ（０，２）到直线ＡＫ的距离（i）若d>2，即m>1，则直线ＡＫ与圆Ｍ相离；（ii）若d=2，即m=1，则直线ＡＫ与

8、圆Ｍ相切；（iii）若d<2，即m<1，则直线ＡＫ与圆Ｍ相交.【注意】（３）的难度虽不算大，但却是一个二级分类讨论。这里提一下分类讨论的“级别”。二级讨论的结构模式是：其他级别讨论的结构模式类似。级别越高的分类讨论对思维有越高的要求，需要做到逻辑清晰、条理清楚。分级分类讨论中各级的号码要有明确的区别，同级的号码要有统一的格式，以避免混乱而失去条理性.在一级分类中，也可省略编号.【小结】通过以上例题可知，无论参数出现在什么类型的题目中，只要明确参数的存在对解题造成了怎样的阻碍，通过分类讨论，消除这种阻碍，就可以使问题得到解决。但需要注意一点，不能

9、形成定势思维：有参数就一定要分类讨论。例如：已知函数f(x)=x²+㏑x+(a-4)x在(1,+∞)是增函数，求实数a的取值范围。这一题要求的是参数的取值范围，做法如下：得：f’(x)=x++a-4∴a=4-(x+)∵4-(x+)<4-2=2∴a>=2显然可见，这道题并不需要用到分类讨论。其实，关于参数的问题可以涉及到很多方面。是否要用到分类讨论，要具体情况具体分析，关键看参数值的不确定性是否阻碍了问题的解决，不能一概而论。2.应用于涉及的数学概念是分类进行定义的问题在中学数学中，有些概念本身就是通过分类进行定义的，譬如：分段函数（不同的自变量

10、值有不同的对应关系），绝对值（可以看作是一个特殊的分段函数），直线的斜率（存在或是不存在）等等。所以，在解决涉及分类进行定义的数学概念的问题时，经常会