分类讨论思想在高中数学中的应用.doc

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1、.分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明

2、显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。一、分类讨论的几个注意点1.明确分类讨论的对象分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量,当然也不排除为常量的可能。例1、设

3、为实常数，问方程表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于的取值，可对分以下三种情形讨论：（1）当时，方程变为，表示直线；（2）当时，方程变为，表示直线；（3）当时，方程变为，又有以下五种情形讨论：页脚.①当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线；②当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；③当时，方程表示圆心在圆点的圆；④当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；⑤当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线．解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的内涵对参数进行分类。2.掌

4、握分类讨论的标准凡是分类都有一个标准，对同一事物，标准不同就形成了不同的分类，必须根据具体情况选择分类的标准。例2、设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0,2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为，一条渐近线的斜率为，∴b=2.∴.（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为，此时.综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于.3.找准分类讨论的界点将讨论的对象分成若

5、干部分，就要准确地选取“界值”，最常见的界值是“0”与“1”，如指数、对数的底a，常分01两种情况讨论；在用根的判别式法求函数的值域时，按首项系数是否为０进行讨论等等，具体的问题具体分析。例3、解不等式>0(a为常数，a≠－)页脚.分析：含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－0时，a>－；－4a<6a时，a>0。所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x

6、>6a；当a＝0时，x>0，解得：x≠0；当－0，解得:x<6a或x>－4a；当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－－4a；当a>－时，6a

7、.；；综上所述，得原不等式的解集为：；；；；。这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。二、分类讨论的应用1、集合中分类讨论问题例5、（06全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。解析：由f（x）为二次

8、函数知，令f（x）＝0解得其两根为由此可知页脚.（i）当时，，的充要条件是，即解得；（ii）当时，，的充要条件是，即解得；综上，使成立的a的取值范围为。2、函数、方程中分类讨论问题例6、函数y=＋＋＋的值域是()A.{-2,4}B.{-2，0,4}C.{-2，0，2，4}D.{-4，-2，0,4}解析：须根据绝对值的