从定义出发确定数列极限的若干方法

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1、从定义出发确定数列极限的若干方法使学生真正掌握—N语言，把握住极限定义的实质，灵活地从定义出发去解决有关数列的问题，以利于他们的后续学习，是一项重要而艰巨的任务，本文讨论了从定义出发确定数列极限的一些主要思想方法，并进行了一定的反思。希望通过问题的讨论，有助于上述任务的完成。一、运用放大法，根据定义证明极根我们知道，—N定义中所要求的N并非唯一存在。对于数列{}，保证liman=A的关键在于当的＞N时，不管是给定的多么小的正数，＜成立，现若＞N0时，有＜，那么N0+1，N0+2，……中任一项都可作N，因为它们同样都能使

2、＜成立，为此，我们可采用放大的办法。欲使＜只须＜Pk（n）（＜），这里Pk（n）将使我们较易地得到N．以下介绍放大的若干技巧：1、直接放大例1：用定义证明：lim=b（0＜α＜b）。证明：==＜5==（0＜α＜b）对于给定的任意小的正数，欲使＜只须＜，＞取N=[]，当＞N时，＜。2、增大n的起始值。例2:若。根据定义证明。证明：=这里直接放大是困难的，为简便起见，可增大的起始值。稍作估计，可令＞1000，得到＜对于给定的任意小的正数，取1000与[]中较大者为N，当＞N时＜＜。3、借助重要的不等式放大：（1）利用平均值

3、不得式。例3：求证：5证明：∵∴对于给定的任意小的正数，取N=，当n>N时，∴（2）利用不得式sinx0)例4：求证证明：=<=对于给定的任意小的正数，取N=，当nN时，。∴（2）利用二项式定理构造不等式。利用二项式定理可构造一系列不等式。如：若a>0，则根据需要可取………………………………例6：证明证明：1）当时，令∴∴对于给定的任意小的正数，

4、取N=。当时，5∴时2）当时，得，根据极限运算法则，由1）得，。5