求数列极限的若干方法

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1、求数列极限的若干方法摘要：本文主要探讨了求数列极限的六种方法:极限定义法，迫敛性，单调有界定理，定积分的定义，施笃茨定理，以及利用函数极限求数列极限的方法，并对每一类方法进行了总结，这将有利于我们更好的学习后续课程。关键词：极限；迫敛性；定积分数列极限是数学分析中最重要的概念之一，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。论文总结出了求数列极限的一些常用方法，为并结合实例进行了说明。1.数列极限概述对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，就称此数列为收

2、敛数列，是此数列的极限。例如，对于数列，当时，能无限地接近于0，则称数列为收敛数列。就是说，当充分大时，数列的通项与常数之差的绝对值可以任意小。因此有下列数列极限的精确定义。1.1数列极限的定义定义1设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正整数,使得当>时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限。定理1（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限。一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只有一个数。定理2（有界性）若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有.15定理3（保号性）若，则对任何，存在正数,使得当时有。定理4（保不等式性）设与均为收敛数列.若

3、存在正数,使得当时有，则。定理5（迫敛性）设有收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且。定理6（四则运算法则）若与为收敛数列则，也都是收敛数列，且有2.求数列极限的方法求数列极限的方法有很多，除了四则运算法则直接求数列极限以外，还可考虑如下方法。2.1利用极限定义求数列极限由定义可以看到，用定义求数列极限的关键是：通常化为一常数与一含有的无穷小之和，从而得到，并依次求出，用定义进行求解。因此，关键是找出，可以看成是关于正整数n的函数，我们可以通过求解不等式，找到使成立，n所要满足的条件，也就是不等式的解集。该解集是自然数N的无限子集。对同

4、一个并不唯一，因此，只需在该解集中找出一个作为N即可。这样寻找N的问题就转化成求解不等式的问题了。2.1.1基本方法15对一些较为简单的极限问题，可以先设，通过用定义得出N，其步骤如下：第一步：先找到这个常数，使得当时，无限地接近于。第二步：，求出使成立的n所要满足的条件——寻找N。第三步：取出N。例1.求的极限。解：对欲使只要，即，故只需取，则当时，就有，因此。例2求数列的极限，其中。解：若，则结论成立。现设，记，则。于是由可知，所以要使，只要使。取则当时，恒有。综上所述有。152.1.2适当放大法其步骤如下：第一步：找出这个常数，使得当时，无限地接近于，将作

5、适当放大成，即对一切n，有<成立。第二步：，寻求使成立时n所要满足的条件——寻找。第三步：求出N。例3计算：的极限。解：由于有，令，即。从而有。即，或解得。于是，对，有（适当放大，对n没有限制）。故对，要想使成立，只需，解得。取。于是，对，当，有即。2.1.3条件放大法在对进行放大时，有时需要对n加以限制，这就是所谓条件放大法。具体步骤如下：第一步：找出一个常数，使得当时，无限地接近于，将作条件放大成，即当时，有。第二步：，寻求使成立n所要满足的条件——寻找。第三步：取。例4已知，计算的极限。解：因为，所以当时，于是，当时，有15其中又因为于是对于上述的，存在，

6、当时，。取则当时，有所以=。小结：运用放大法证明数列极限时，应注意以下问题：第一，放大一定要“适当”，不能随意地放得过大。第二，放大后的，只要保证是无穷小量（当时）即可，因此并不是唯一的，从而N也不是唯一的。小结：这是证明极限的最一般的方法，由起步，可以借助不等式，逐次放大不等式的方法，找到相应的。用定义证明一个数是某一个数列的极限可以说是万能的，但这要求事先估计数列的极限是多少，并且证明过程又是非常麻烦的。2.2利用迫敛性定理求数列的极限定理7：设是三个数列。若存在正数,当时有，且。对于无限项和的极限，不能运用极限四则运算来求解，就考虑用迫敛性定理。例5求极限

7、解：设15则有于是而故由迫敛性的由此可见：当数列中的一般项为项的和时，在这种情况下，我们就可以放大、缩小；取中最大的分母做的分母，最小的分母做的分母，而，的其余部分和完全相同，如果时，则可由迫敛性求得。对于无穷项和的极限时，不能拆成极限的和。例6求数列的极限。解：令则于是从而由于所以。小结：这实际上就是运用了数列极限的迫敛性，适当的对数列放缩，利用已知的数列极限，以及不等式的性质进行求解，根据所求数列的结构，将适当放大、适当缩小。设放大后得，缩小后得，即有。值得注意的是与应该都收敛于同一个极限。利用迫敛性定理求数列极限的推广应用15定理8若级数与收敛，且成立不等

8、式。例7判断的敛散性。解