(甘志国)例谈轴对称条件下求参数取值范围问题的解法

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1、(甘志国)例谈轴对称条件下求参数取值范围问题的解法例谈轴对称条件下求参数取值范围问题的解法甘志国(该文已发表数学通讯，2013(9上)：12-14)x2y2定理1椭圆?:2?2?1(a?b?0)上存在相异两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直ab(a2?b2)2k2线l:y?kx?m(k?0)对称的充要条件是m?(且x1?x2与km异号或均a2?k2b22为0，y1?y2与m异号或均为0).x2y2定理2设双曲线?:2?2?1(a?0,b?0)的同一支上存在相异两点abA(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l:y?kx?m(k?0)对称的充要条件是a2?k2b2且(a2

2、?b2)2k2m?；双曲线?不同支上存在相异两点关于直线l对称的充要条件是222a?kb2a2?k2b2且m?R.(且x1?x2与km异号或均为0，y1?y2与m同号或均为0)定理3设抛物线，直线，则抛物线?:y?2px(p?0)上存在相异两点2A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l:y?kx?m(k?0)对称的充要条件是pk(pk3?2pk?2m)?0(且x1?x2与p?m异号或均为0，y1?y2与pk异号或均为0).k注文献[1]的定理3不对.下面给出这三个定理的简洁常规的证明(对于定理1,3，以下证法还给出了两种关于充要条件的结论的证明).在以下证明中，设线段AB的中

3、点为H(x0,y0)，所以x1?x2?2x0,y1?y2?2y0；再由点H(x0,y0)在直线l:y?kx?m(k?0)上可得y0?kx0?m.定理1的证明得b2x1?a2y1?a2b2,b2x2?a2y2?a2b2，作差整理后可得2222b2x01y2?y1b2(x2?x1)????2??2kx2?x1a(y2?y1)ay0a2y0?kb2x0?a2mb2m?再由y0?kx0?m，可得线段AB的中点为H??k(b2?a2),b2?a2??.??由点差法可知，椭圆内非中心的任意一点都是该椭圆唯一一条弦的中点，椭圆的中心是该椭圆过中心的任意一条弦的中点，所以所求充要条件即点H在椭圆

4、?内，可得所求充要(a2?b2)2k2条件是m?.222a?kb2(注：因为过椭圆内的点作直线一定与该椭圆交于相异两点，所以以上证明中无须验证b2m1?a2m??与椭圆?有两个不同的交点”.)“直线AB:y?2???x?222??b?ak?k(b?a)??a2mb2m?在该证明中已得AB的中点H??k(b2?a2),b2?a2??，所以直线??am(a2?b2k2)b2m1?a2m??即?aky?ax?，把它与椭圆?AB:y?2???x?22222??k(a?b)b?ak?k(b?a)?的方程b2k2x2?(?aky)2?a2b2k2联立后，可得关于x的一元二次方程(a2?b2)

5、2(a2?b2k2)k2x2?2(a2?b2)a2(a2?b2k2)kmx?a2[(a2?b2k2)2m2?b2(a2?b2)2k4]?0(a2?b2)2k2由其判别式??0，也可得所求充要条件是m?，且x1?x2与km异号a2?k2b22或均为0.把直线AB与椭圆?的方程联立后，还可得关于y的一元二次方程(a2?b2)2(a2?b2k2)k2y2?2(a2?b2)b2(a2?b2k2)k2my?b2[m2(a2?b2k2)2?a2(a2?b2)2k2]?0(a2?b2)2k2由其判别式??0，又可得所求充要条件是m?，且y1?y2与m异号a2?k2b22或均为0.?a2mb2m

6、?定理2的证明由点差法可求得线段AB的中点为H???k(a2?b2),a2?b2??，直线??am(a2?b2k2)b2m1?a2m??即?aky?ax?，把它与双曲线AB:y?2???x?22222??k(a?b)a?bk?k(a?b)??的方程(?aky)2?b2k2x2?a2b2k2?0联立后，可得关于x的一元二次方程(a2?b2)2(a2?b2k2)k2x2?2(a2?b2)a2(a2?b2k2)kmx?a2[(a2?b2k2)2m2?b2(a2?b2)2k4]?0由其判别式??0，得a2(a2?b2k2)2m2?(a2?b2k2)[(a2?b2k2)m2?b2(a2?b

7、2)2k4]进而可得相应结论成立.把直线AB与双曲线?的方程联立后，还可得关于y的一元二次方程(a2?b2)2(a2?b2k2)k2y2?2(a2?b2)b2(a2?b2k2)k2my?b2[m2(a2?b2k2)2?a2(a2?b2)2k2]?0进而也可得相应结论成立.注专著[2]给出了过坐标平面上的点能作双曲线的中点弦的充要条件，但由此来证明b2m1?a2m??与双曲线?定理2却很麻烦，原因是须验证“直线AB:y?2???x?222??a?bk?k(a?b)?有两个不同的交点