何谓抛物线形状相同

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1、何谓抛物线“形状相同”？黄家礼（上海市浦东教育发展研究院200127）1．问题的提出有段时间连续接到几位老师的电话，问：何谓抛物线形状相同？如下面几例：例1已知二次函数y=a(x+m)2的形状和y=2x2相同，且顶点坐标为A(-2,0),求二次函数关于y轴对称的图形的解析式.(文汇出版社，08年8月版《走进新课程》九年级数学P78页第8题.该书答案（P223）：y=2(x-2)2)例2一条抛物线与抛物线y=-有公共顶点，且形状也相同，只是开口方向相反.求此抛物线的表达式，并画图像.(华东师大2011年6月版《一课一练》P90,该书答案(

2、P289)：y=，图略)例3某抛物线的形状、大小与抛物线y=2的形状、大小相同，顶点在（-4，-3），那么这条抛物线的表达式为.（华东师大2011年6月版《一课一练》P99,该书答案(P290)：y=2-3）老师的疑问是：抛物线与抛物线形状相同，是表示还是？若是，例2答案错；若表示的是，那么例1漏了一解：，例3也漏了一解：y=-2-3.笔者还在《初中数学同步学习与辅导》（上海科技教育出版社，2008年版，P157页12题）、《9年级（第一学期）数学同步训练与拓展》（原子能出版社，2010年版，P76页第8题）、《初中数学双基过关堂堂练》

3、（光明日报出版社，2011年版，P69页第4题）等资料均发现有抛物线“形状相同”的题目.2．教材的说法北师大版教材对两抛物线形状相同的表述较明确，如该版九年级下册《数学教师教学用书》(2009年版)第P55页：“函数的图象与函数的图象形状相同”；P61页：“函数的图象与函数的图象形状相同”；P62页：“函数的图象与函数的图象形状相同”.该书从P55页-P64页，“形状相同”这一概念出现了12次.4人教版九年级下册《数学教师教学用书》P11页：把“函数，与函数进行对比，…从而得出形状相同”；P12页：“类似，把函数，与函数进行对比，从而得

4、出形状相同”.上海科技版教材九年级（上册,09年6月版）P12也出现有“抛物线与的形状、开口大小和开口方向相同”的表述.按北师大版教材，两抛物线与形状相同，则.人教版教材只谈了当时，其抛物线与形状相同.上海科技版与人教版较一致.而关于两图形“形状相同”教材还有如下说法：如人教版九年级教材《数学》下册（07年10月版）P36页明确指出：“形状相同的图形叫做相似图形.”上教版九年级教材《数学》第一学期（试用本）（10年6月版）P2页：“我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形.”北师大版(教材八(下)P110)、华东师大版

5、（教材九（上）P42）、上海科技版教材(教材九（上）P53)都是这样定义的.也就是说“两图形形状相同”与“两图形相似”是同义语.而任意两个抛物线都是相似的（证明见文①），那就是说任意两个抛物线都形状相同.既然如此，那么在或的条件下，才有抛物线与形状相同的说法就值得商榷.3.几点思考与建议数学的核心工作是计算和推理，而计算法则的确立和推理方法的严谨都依赖于思维的正确.史宁中教授说：“逻辑学的本质告诉我们，在讨论或者研究问题的时候，每一个术语和概念的使用，每一步计算和推理的进展，都必须经得起最严格的检验.②”数学是思维的科学，概念是思维的细

6、胞，没有概念或概念不清，就无法进行计算、推理和论证.李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！③”所以正确地理解和使用概念是学好数学的基础！既然教材对两图形“形状相同”有明确的说法——是相似形.那么，对于抛物线，仅就或时，说抛物线与形状相同，概念的内涵和外延都发生了变化，前后说法不一致，自然引出矛盾.鉴于此，对于前面教材和3道例题所述的情况，笔者对其表述提出如下调整方案：①当时，抛物线与形状的描述，采用“开口大小相同4，开口方向相同”.它表示两个抛物线通过平移能重合.②当时，抛物线与形状的描述，采用“开口大小相同，

7、开口方向相同或相反”.它表示两个抛物线通过平移、翻折能重合.从变换的角度讲，任意两个抛物线与（）相似或说它们形状相同，是说它们之间存在一个相似变换；而当或时，它们之间存在一个等距变换.这样处理，保证了教材概念体系的一致、严密，也保证与相似理论和变换理论的一致性.要真正把两个抛物线形状之间的关系说透切，可以借助下面的一张变换的“谱系”（见文④）,它揭示了变换之间其“父母”、“子女”及相互关系：显然，当时，由抛物线到抛物线的变换是平移变换；当时，由抛物线到抛物线的变换是旋转（或反射）变换.平移、旋转、反射变换都是等距变换.而相似变换除了等距

8、变换外，还有位似变换和旋转相似变换，如对于抛物线和抛物线，当时.以上为一孔之见，不妥之处，请读者批评指正！参考文献①张海堂熊先香，所有的抛物线都相似吗？《数理天地》高中版，2008年第11期.②史宁中，数学