求积分的方法毕业论文

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1、目录摘要1关键词1Abstract1Keywords1前言11.不定积分的求法11.1不定积分的换元法11.2不定积分的分部积分法31.3有理函数的不定积分41.4三角函数有理式的不定积分81.5某些无理根式的不定积分92.定积分的求法122.1用定积分定义证明与计算定积分122.2牛顿—莱布尼茨公式132.3利用递推关系或解方程132.4利用被积函数的某些性质142.5利用区间可加性152.6反常积分的求法152.6.1利用定积分的方法152.6.2利用欧拉积分17参考文献1818求积分的方法学生姓名：陈晓学

2、号：数学与信息科学学院数学应用数学指导老师：郭淑利职称：副教授摘要：本文较系统的讨论了不定积分，定积分（包含反常积分）的各种求法。并从一些实例说明定义，性质及定理的如何应用。关键词：不定积分；换元积分法；分部积分法；定积分；反常积分ThemethodsofcalculatingintegrationAbstract:Thisarticlediscussessystemlythemethodsofcalculatingindefiniteintegral,thedefiniteintegra(includingi

3、mproperintegration).andwegivesomeexamplestoshowhowtousethedefinition,propertiesandtheoremstosolvesomeactualproblems.Keywords:indefiniteintegral;integrationbysubstitution;integrationbyparts;definiteintegral;improperintegration.前言积分是数学分析中的一个极为重要且应用广泛的概念，它是数学分析

4、的主要研究对象之一，也是数学其他分支、物理学以及工科许多课程的重要的理论工具。积分包括不定积分和定积分（含反常积分），本文先阐述了各种具体积分方法的定义及基本性质，辅以典型的例题，归纳总结了具体积分的常见的计算方法。1.不定积分的求法1.1不定积分的换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法．定理1(换元积分法)设g()在上有定义，在上可导，且，并记18(i)若在上存在原函数，则在上也存在原函数，即（1）(ii)又若则上述命题(i)可逆，即当在上存在原函数F()时，g()在[]上也存在原函数G()，且G()

5、=，即．（2）证（i）用复合函数求导法进行验证：所以以为其原函数，(1)式成立．(ii)在的条件下，存在反函数，且于是又能验证（2）式成立：．上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式).也可把它写成如下简便形式：18例1求解[解法一]采用第一换元积分法：　　　　　［解法二]采用第二换元积分法(令)：　　　　1.2不定积分的分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法．定理2（分部积分法）若与可导

6、，不定积分存在，则也存在，并有=（1）证由或，对上式两边求不定积分，就得到(1)式．公式(1)称为分部积分公式，常简写作例2求和解，.18由此得到解此方程组，求得1.3有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为，　　(1)其中，为非负整数，与都是常数，且，．若，则称它为真分式；若，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以

7、表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下第一步对分母在实系数内作标准分解：，（2）其中均为自然数，而且第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如的因式，它所对应的部分分式是18对每个形如的因式，它所对应的部分分式是把所有部分分式加起来，使之等于．(至此，部分分式中的常数系数尚为待定的.)第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母，而其分子亦应与原分子恒等．于是，按同幂项

8、系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例3对作部分分式分解解按上述步骤依次执行如下：部分分式分解的待定形式为（3）用乘上式两边，得一恒等式++然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：求出它的解：，并代人(3)式，这便完成了18的部分分式分解：上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将的某些特定值(如的根)代人(4)式，以便得到一组较