选购降落伞建模论文

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1、《实验数学》论文题目2：降落伞的选购学生姓名学号所在院系任课教师摘要本文建立了一个关于对降落伞选购使得费用最节省，最优化的模型。本文首先建立了在空气阻力作用下物体降落的物理模型，为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，利用此方程可以对空气阻力与降落速度以及伞面积的比例系数K进行求解，本文利用最小二乘法拟合求K的值。从而计算出不同半径降落伞的最大承载量。对第一个问题，物体可以任意分割时，结合不同半径的降落伞的费用，得出目标

2、函数及约束条件，建立优化模型并进行求解；而对第二个问题，对不同规格的物品进行组合，结合不同半径伞的单个费用，得出目标函数和约束条件，建立优化模型，求出最优解。该模型对第一问题投放2000Kg救灾物质选购降落伞的最低费用为4924.7元；第二问题最终得出的最低费用是2685.8元。关键字：线性规划；空气阻力系数；最小二乘法；数据拟合；Matlab一、问题的重述需要选购一些规格固定的降落伞向灾区空投救灾物质，空投高度500m，救灾物质落地的速度不能超过20m/s。知道降落伞面是半径为r的半球面，每个降落伞都有16根相同长度L的绳索。每个降落伞的制造费用固定为200元，绳索价格4元/m

3、，降落伞面费用见表1。降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降落速度以及伞面积成正比。用半径r=3m、载重300kg的降落伞从500m高度降落，得到一些数据如表2。要求：1、当救灾物质共2000kg时，确定降落伞的选购方案，使购买费用尽可能少？2、当救灾物质不能被随意连续分割时，为使购买费用尽可能少建立数学模型，并对表3数据给出结果。表1r（m）22.533.54费用（元）651703506601000表2时刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551表3物质规格（kg）2351824数量（个）40303025

4、12二、模型的假设1.在降落伞下降过程中，本文视降落伞与所系的救灾物质为一体。2.假设空投物资的瞬时伞已打开。3.在第一问题中假设空投物资可以任意分割。4.空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。5.降落伞和绳索的质量可以忽略不计。6.假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用。7.在计算过程中，排除由于降落伞的质量问题导致物质在空投过程中与降落伞脱离而造成的损失。8.绳索一端连接在球心正下方的球面上，另一端均匀分布在边缘上。三、所用符号说明1.：降落伞的负载物质重量2.：重力加速度（取）3.：降落伞的加速度4.：空气的阻力系数5.：第种降落伞的伞面面积6.：第种降落伞的最大承载量

5、7.：第种降落伞的绳索的费用8.：第种降落伞的面料费用9.：一个降落伞的固定制造费用10.：第种降落伞的单价四、问题的分析我们主要目的是选择适当组合的降落伞，对物质进行空投，使总费用最低。由题意可知每个伞的总费用由三部分组成：伞面费用、绳索费用和固定费用。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索的长度及单价决定，而绳索的长度又由降落伞的半径决定；固定费用为定值200。问题可以归纳为总费用的非线性规划问题。降落伞下降过程是一个物理模型，故救灾物质和降落伞所组成的系统是符合牛顿定律的。系统在下降过程中做加速度减小的加速运动，直到所受阻力等于自身重力，加速度为零，速度达到最大。这时我们

6、分析它的最大速度是否已超过20m/s，若超过的话，物质就不能安全着地，这就需要适当减小物质的载重量，使物资在落地时的速度不超过20m/s。为此，我们要求出各个降落伞所对应的最大承载量，以保证物质安全着地。要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数、运动速度、伞的受力面积有关。运动速度和受力面积是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数。我们根据已知数据，用最小二乘法对进行求解。而在求之前必须求出时间与高度之间的关系。再根据及最大限制速度求出不同

7、半径的降落伞的最大载重量。最后，根据所给的约束条件列出非线性优化模型，再借助Matlab软件，找出适当组合的降落伞，使得空投物资既能安全着陆，又能使得费用最低。五、模型的建立与求解1、确定空气阻力系数由模型假设可知降落伞和物资可看作一个整体，并且整体只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v和伞的受力面积S的乘积成正比，即。则整体在竖直方向上受到的合外力为：得且从而得：解微分方程得：（Matlab求解）那么根据表2数据，以为拟合函数借助Matla