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1、降落伞选购的优化模型[摘要]:本文对降落伞的选购问题建立了一个优45化模型,对所给数据采用计算机描点作图进行数据拟合,得出载重为300kg，半径为3米的降落伞从500米高空下降时的运动曲线，发现降落伞后期做匀速直线运动.当降落伞作匀速直线运动时，由mg=f=kvs求出空气阻力系数,落地速度为.再通过隔离载重物体并进行受力分析，求出降落伞绳索长度,进而算出每种半径的降落伞的绳索费.最后根据每种降落伞的总成本关系把问题转化为整数线性规划问题，用MATLAB解得，即要购买半径的降落伞数量为6把,其他半径的降落伞都不需购买,总费用为元.关键词:数据拟合；运动曲线；阻力系数；整数线性规划1问题的提出
2、现要向灾区空投救灾物资共,从而要选购降落伞.已知空投高度为,要求降落伞的落地速度不超过,降落伞面为半径为的半球面,用每根长共16根绳索连接的载重位于球心正下方球面处,如图所示.每个降落伞的费用由三部分组成,伞面费由伞的半径决定,见表1.绳索费由绳索总长度及单价4元/米决定,固定费用为200元.降落伞下降时受到空气阻力,可以认为与降落伞速度和伞面积的乘积成正比.为测定阻力系数,用半径的降落伞从的高度作降落实验,测得各个时刻的高度,见表2.试确定降落伞的选购方案,即共需多少个,每个降落伞的半径多大(在表1中选择),在满足空投条件下,使总费用最低.表12.533.54(元)65170350660
3、1000表21110369121518212427305004704253723172642151601085512模型的基本假设1降落伞下降过程中只受重力及空气阻力的作用,其他因素忽略;2降落伞的质量和绳索质量忽略;3每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重;4阻力系数是常数，与其他因素无关;5降落伞的落地速度不会超过20m/s6救灾物资2000kg可以任意分配.3符号的约定阻力系数空气阻力半径为的降落伞的最大载重半径为的降落伞的伞面面积时刻降落伞的下降高度时刻降落伞的下降速度购买半径为的降落伞数目伞面费绳索费固定费用降落伞每根绳索的长度重力加速度,4模型的建立与求解4.1阻力系
4、数的确定降落伞下降时对降落伞进行受力分析有,由于开始时不同时刻的加速度是不同的,即,设初始时,所以由上式有即111解上述微分方程,解得则从开始时刻到时刻降落伞下降的高度又当降落伞从高空下降时其运动轨迹可由计算机模拟出来,采用的函数,p:=[[0500],[3470],[6425],[9372],[12317],[15264],[18215],[21160],[24108],[2755],[301]]:plot(p);可得到其运动曲线如图所示图（1）可以发现降落伞在后期的运动曲线几乎是线性的,所以可以把降落伞后期的运动看成是匀速直线运动.对降落伞进行受力分析,有,而其中为降落伞的伞面面积.取
5、，估算出111由把代入上式，可以用Maple作出速度与时间的图象，如下图：图（2）可以发现降落伞以后速度几乎不变，这说明降落伞后期是作匀速直线运动的，所以降落伞后期匀速运动的速度可以这样确定:9秒以后的数据用最小二乘法进行线性拟合,设,其中符合正态分布,采用Matlab的polyfit函数X=[912151821242730];H=[128183236285340392445499];P=polyfit(X,H,1)结果为p=[17.5794,-29.2976]因为降落伞为半球面,所以由此解得4.2降落伞载重的确定由式可得的函数因为降落伞落地时,,即111再由联立方程组:消去参数得到关于的
6、函数,降落伞的最大载重当且仅当达到最大,即时取得,由此我们可以证明如下命题：是关于的增函数.证明:因为为严格单调减函数又因为由单调性的判别法,为的严格增函数所以命题成立反之关于的函数也是增函数.令则式变为把代入得111把,,,,代入上式可以解得满足空投条件下的各种半径的降落伞的最大载重：4.3半径为时降落伞的绳索费因为载重位于球心正下方球面处,所以载重到球心的距离等于降落伞球面的半径,由几何关系得到,其示意图如右图解得半径为的长度分别为求得绳索费如下表:22.533.542.833.534.244.955.66181.12225.92271.36316.8362.24则购买每把不同半径的降
7、落伞的各需总费用C如下:22.533.5465170350601000181.12225.92271.36316.8362.24200200200200200446.12595.2821.361176.81562.24446595821117715624.4确定降落伞的选购方案要使总费用最小,则要取每种半径的总成本最小,则有如下数学规划111(6)用matlab解上述线性规划得:(程序参见附录)5模型结果的说明由上用ma
