数学建模《降落伞的选购问题》

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1、班级：班姓名学号:降落伞的选购模型摘要本模型研宂的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与吋间的方程作为拟合曲线与题中给出的吋间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。我们建立丫速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。由于题中己限制降落伞的最大落地速度为20m/s,所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。建

2、立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s,高度500m，伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最人承载量。最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：n2=ln2.5=2,n3=7,n3.5=0,n4=0。即购买半径为2.5m的降落伞7个和半径为3m的降落伞4个吋，最大承载量为:151.0942*1+236.0847*2+339.9620*7=3003（kg）,最少总费用为6349.360元。关键字：最大承载量、线性规划、Matlab、空气阻力系数、数据拟合一、问题的重述2008年，汶川大地震，现急需向灾区空投救灾物资共3000k

3、g，因此选购一些降落伞。已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用cl由伞的半径r决定，见表1;绳索费用c2由绳索总长度及单价3元/米决定；固定费用c3为150元。降落伞在降落过程屮受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x,见表2。试确定降落伞降落的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1屮选择）在

4、满足空投的要求丁，使总的费用最低。t(s)036912151821242730X(m)500470425372317264215160108551图表二二、模型的假设1、空投物资的总数2000kg可以任意分割；2、假设空投物资的瞬时伞己打开；3、降落伞和绳的质量可以忽略不计；4、降落伞的落地速度不会超过20m/s；5、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关；6、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用；7、每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最人载重。三、符号说明f空气阻力k阻力系数半径为r的降落伞的最大载重5r半径为r的降落伞的伞面面积H(Z)Z时刻降落伞的下降高

5、度v(r)f时刻降落伞的下降速度nr购买半径为r的降落伞数目C,伞面费C2绳索费c3固定费用L降落伞每根绳索的长度a降落伞的加速度g重力加速度，g=9.8m/s2问题的分析由题意可知每个伞的价格由三部分组成：伞面费用Q、绳索费用C2、固定费用C3。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用(32由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即L=固定费用为定值150。因为题屮已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值。要想确定选购方案,即共需半径(在题中给出的半径中选择)为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。因此，我们需要确定每种伞的最大

6、承载量。然后进行线性规划，确定总费用最少和每种伞的个数。物资要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析(如图二)。降落伞在降落过程屮除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、运动速度(a)、伞的受力面积(s)有关。运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。A物体a阻力重力图一图二对图二的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0的加速运动。因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k的值。然后再建立一个速度与时间

7、的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量（其中高度和速度由题目己经给出）。最后用LINGO软件进行线性规划算出问题要的结果。五、建模与求解（1）首先确定阻力系数k为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如阁二。由假设5可知物体A只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。乂由题可知空气阻力与降落速度v和伞的受力面积S的乘积成正比。则物体A在竖直方向上受到的合外力为：=mg-kSv由运动学方程：=ma得厂合mg-kSva==mm由物体位移H和时间（t）的二次微分等于加速度建立方程得:d2H_mg-kSvdt2m用MA