数学建模-降落伞的选择

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1、降落伞的选择摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案,使费用最低。通过对问题的分析,以牛顿第二定律建立微分方程模型,通过以救灾物资2000kg,5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件,建立优化模型。通过优化模型最终解出最佳方案,以及最小费用。继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时,风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。在绳索拉直的情况下,我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。所以最后我们通过数据的拟合,找出了最适合投放降落伞的风速及偏角范围,以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。首先,我们要确

2、定阻力系数。通过对表二的数据分析,以牛顿第二定律建立微分方程模型,运用matlab插点作图进行数据拟合,得到半径为3m,载重为500kg的降落伞从500m高度下落的运动曲线,发现物体在运动后期做了直线运动,通过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为17.5794m/s.其次,我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。通过对表一的数据分析,以牛顿第二定律建立微分方程模型,通过以空投高度为500m,以降落伞落地的速度不能超过20m/s为约束条件,代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。运用优化模型

3、的解题方法,我们得出最低费用为4932元,降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6个,其他半径的降落伞不予选购。最后,我们根据查找数据,得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系,得到相关图片,然后进行拟合得到,从而在已选条件下,选择降落伞最好的投放地点(该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态)。关键字:降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合问题重述为了向灾区空投救灾物资,需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为2米、2.5米、3米、3.5米、4米五种型号,降落伞的造价由

4、伞面费用,绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞均是半径为的球形,并且用长为l的16跟绳索连接重物,重物位于球心正下方的球面处,降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外,还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由用半径为3米,载重300千克的降落伞从500米高度处所做的降落实验得出的数据确定,得出各个时刻的高度实验数据。为了确保救灾物资顺利的到达地面,我们对降落伞的投放环境进行研究。我们发现风速和偏角是影响降落伞下降时绳索拉直时间的关键因素,因此我们对已知数据进行拟合,得

5、到风速,偏角与降落伞绳索拉直时间的关系函数,在以确定降落伞的大小与投放高度的条件下,选择最好的投放地点(该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态)。问题的提出为向灾区空投救灾物资共2000kg,需选购一些降落伞,已知空投高度为500m,要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面,用每根长为l的16根绳索连接着载重m的物体位于球心正下方球面处,如图所示。每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径r决定;绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定;其他费用为200元。降落伞在降落过程中受到空

6、气的阻力,为了确定阻力的大小,用半径3m、载重300kg的降落伞从500m高度做降落实验,测得各时刻的高度。确定降落伞的选购方案,即共需多少个,每个伞半径多大,在满足空投要求的条件下,是费用最低。半径r/m22.533.54费用/元651703506601000表格1不同半径的降落伞伞面价格t/s036912151821242730x/m500470425372317264215160108551表格2降落伞试验的时刻t与高度x的观测值问题的分析这是一个有约束的优化问题,目标函数是降落伞的总费用,为了实用上的方便,

7、不妨只选一种规格(伞半径)的降落伞,于是总费用是降落伞的个数与每个降落伞价格的乘积,而你决策变量是降落伞数量(记作n)和每个伞的半径r。虽然r和n都只能取有限个离散值,但是,对n和r的各种组合进行枚举计算,逐个验算是否满足约束条件,比较费用,是相当繁琐的,并且缺乏一般性。我们宁可先将n和r看作连续变量,建立优化模型,求得最优解后,再按题目要求做适当调整。约束条件主要是伞的落地速度不能超过20m/s,为表述这一条件需要建立并求解降落伞速度满足的微分方程,而方程中的重要参数——空气阻力系数——又要通过测量数据(表格2)

8、作拟合得到。显然,由于测量数据是时间和高度,所以需要找出速度和高度之间的关系。确定费用函数的关键是找出伞面价格与伞半径的关系,它可以根据所给数据(表格1)用适当的函数来拟合,观察这些数据的散点图,用幂函数拟合比较合适。建立降落伞下落的微分方程时,关键是对所受阻力的分析,显然,阻力随着降落速度和伞面积的增加而变大。模型假设(1)伞面价格c1与伞半径r的关系,用

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